a) Xét tam giác APQ và tam giác BPM có:

PA=PB

Góc APQ=góc BPM (hai góc đối đỉnh)

Góc QAP=góc MBO (AQ // BM)

=> Tam giác APQ=tam giác BPM (g.c.g)

=> PQ=PM

=> AQBM là hình bình hành (định lí) (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà góc QAM=90° (AQ vuông góc với AM)

=> AQBM là hình chữ nhật

Vậy AQBM là hình chữ nhật

b) Ta có

PQ=AB/2 (vì PQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông ABQ) (1)

PI=ABC/2 (vì PQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AIB) (2)

Từ (1) và (2)

=>PQ=PI thuộc tam giác PIQ cân tại P

Vậy PIQ cân tại P.

Xét tam giác ABC có:

Theo hình vẽ ta biết BM là đường trung tuyến với cạnh AC

Mà BM=1/2 AC (GT)

=> Tam giác ABC vuông tại B

Xét tứ giác ABCD có:

Góc A=góc D=góc B= 90°

=> Tứ giác ABCD là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)

Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Ta có IH=ID (GT)

=> I là trung điểm của DH

Xét tứ giác AHCD có:

I là trung điểm của AC (GT)

I là trung điểm của DH (chứng minh trên)

=> Tứ giác AHCD là hình chữ nhật (định lí) (hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Vậy tứ giác AHCD là hình chữ nhật.