a) Chứng minh \triangle OBC cân Vì \triangle ABC cân tại A nên \widehat{ABC} = \widehat{ACB}. BQ, CP là phân giác nên \widehat{OBC} = \frac{1}{2}\widehat{ABC} và \widehat{OCB} = \frac{1}{2}\widehat{ACB}. \Rightarrow \widehat{OBC} = \widehat{OCB}. Vậy \triangle OBC cân tại O. b) Chứng minh O cách đều ba cạnh AB, AC, BC O là giao điểm của hai đường phân giác BQ và CP của \triangle ABC. Theo tính chất ba đường phân giác, giao điểm này cách đều ba cạnh của tam giác. c) Chứng minh AO đi qua trung điểm BC và vuông góc với BC Trong tam giác cân ABC, đường phân giác xuất phát từ đỉnh A đồng thời là đường trung trực. Vì O là giao điểm của các đường phân giác nên AO là đường phân giác thứ ba. Do đó, AO vuông góc với BC tại trung điểm của BC. d) Chứng minh CP = BQ Xét \triangle BPC và \triangle CQB: BC là cạnh chung. \widehat{PBC} = \widehat{QCB} (góc đáy tam giác cân ABC). \widehat{BCP} = \widehat{CBQ} (đều bằng \frac{1}{2} góc đáy). \Rightarrow \triangle BPC = \triangle CQB (g.c.g) \Rightarrow CP = BQ. e) \triangle APQ là tam giác gì? Từ \triangle BPC = \triangle CQB \Rightarrow BP = CQ. Mà AB = AC nên AB - BP = AC - CQ \Rightarrow AP = AQ. Vậy \triangle APQ là tam giác cân tại A.

Chứng minh AD = BC Xét \triangle OAD và \triangle OCB có: OA = OC (theo giả thiết) \widehat{O} là góc chung OD = OB (theo giả thiết) \Rightarrow \triangle OAD = \triangle OCB (c.g.c). \Rightarrow AD = BC (hai cạnh tương ứng). b) Chứng minh \triangle ABE = \triangle CDE Ta có OA = OC và OB = OD \Rightarrow OA - OB = OC - OD, hay AB = CD. Vì \triangle OAD = \triangle OCB nên \widehat{OAD} = \widehat{OCB} và \widehat{ODA} = \widehat{OBC}. Xét \triangle ABE và \triangle CDE: AB = CD (chứng minh trên). \widehat{BAE} = \widehat{DCE} (do \widehat{OAD} = \widehat{OCB}). \widehat{ABE} = \widehat{CDE} (vì \widehat{ABE} = 180^\circ - \widehat{OBC} và \widehat{CDE} = 180^\circ - \widehat{ODA}, mà \widehat{OBC} = \widehat{ODA}). \Rightarrow \triangle ABE = \triangle CDE (g.c.g). c) Chứng minh OE là tia phân giác của \widehat{xOy} Từ \triangle ABE = \triangle CDE \Rightarrow EA = EC (hoặc EB = ED). Xét \triangle OAE và \triangle OCE: OA = OC (giả thiết). OE là cạnh chung. EA = EC (chứng minh trên). \Rightarrow \triangle OAE = \triangle OCE (c.c.c). \Rightarrow \widehat{AOE} = \widehat{COE}. Vậy OE là tia phân giác của \widehat{xOy}.

Xét hai tam giác vuông \triangle IOE (tại E) và \triangle IOF (tại F): OI là cạnh huyền chung. \widehat{EOI} = \widehat{FOI} (vì Om là tia phân giác của \widehat{xOy}). \Rightarrow \triangle IOE = \triangle IOF (cạnh huyền - góc nhọn). b) Chứng minh EF \perp Om Gọi K là giao điểm của EF và Om. Từ câu a, ta có OE = OF (hai cạnh tương ứng). Xét \triangle OEK và \triangle OFK: OE = OF (chứng minh trên). \widehat{EOK} = \widehat{FOK} (Om là phân giác). OK là cạnh chung. \Rightarrow \triangle OEK = \triangle OFK (c.g.c) \Rightarrow \widehat{OKE} = \widehat{OKF}. Mà \widehat{OKE} + \widehat{OKF} = 180^\circ (hai góc kề bù) nên \widehat{OKE} = 90^\circ. Vậy EF \perp Om tại K.

Xét \triangle ABD: Ta có \widehat{DAB} = \frac{1}{2} \widehat{A} = 60^{\circ} (vì AD là phân giác). Góc ngoài tại đỉnh A của \triangle ABD có số đo là 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}. Suy ra AC là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A. Trong \triangle ABD: DI là tia phân giác của góc trong tại đỉnh D (theo đề bài). AI (nằm trên đường thẳng AC) là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh A. Theo tính chất hình học, tia phân giác của một góc trong và một góc ngoài không kề của tam giác cắt nhau tại một điểm cách đều hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại. Do đó, I là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc B của \triangle ABD. Điều này dẫn đến I cách đều các đường thẳng AB và BC. Kết luận: Vì IH \perp AB và IK \perp BC nên IH = IK.

Xét tam giác: Vì D nằm trên đường trung trực của BC nên DB = DC. Xét khoảng cách: Vì D nằm trên tia phân giác của \widehat{A} nên các khoảng cách từ D đến hai cạnh AB, AC là bằng nhau \Rightarrow DH = DK. Xét hai tam giác vuông: Xét \Delta DHB và \Delta DKC (H, K = 90^{\circ}): DB = DC (chứng minh trên) DH = DK (chứng minh trên) \Rightarrow \Delta DHB = \Delta DKC (cạnh huyền - cạnh góc vuông). Kết luận: BH = CK (hai cạnh tương ứng).