Ta chứng minh bất đẳng thức (với \(x , y \neq 0\)):

\(\frac{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}}{4 x^{2} y^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 3\)

Biến đổi

\(\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}\) \(\frac{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}}{4 x^{2} y^{2}} = \frac{x^{4}}{4 x^{2} y^{2}} + \frac{2 x^{2} y^{2}}{4 x^{2} y^{2}} + \frac{y^{4}}{4 x^{2} y^{2}}\) \(= \frac{x^{2}}{4 y^{2}} + \frac{1}{2} + \frac{y^{2}}{4 x^{2}}\)

Thay vào biểu thức

\(A = \frac{x^{2}}{4 y^{2}} + \frac{1}{2} + \frac{y^{2}}{4 x^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}\)

Gộp các hạng tử:

\(A = \frac{1}{2} + \frac{5}{4} \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{5}{4} \frac{y^{2}}{x^{2}}\)

Áp dụng bất đẳng thức

\(\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 2\)

Suy ra

\(A \geq \frac{1}{2} + \frac{5}{4} \cdot 2\) \(A \geq \frac{1}{2} + \frac{10}{4}\) \(A = 3\)

Ta chứng minh bất đẳng thức (với \(x , y \neq 0\)):

\(\frac{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}}{4 x^{2} y^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 3\)

Biến đổi

\(\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}\) \(\frac{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}}{4 x^{2} y^{2}} = \frac{x^{4}}{4 x^{2} y^{2}} + \frac{2 x^{2} y^{2}}{4 x^{2} y^{2}} + \frac{y^{4}}{4 x^{2} y^{2}}\) \(= \frac{x^{2}}{4 y^{2}} + \frac{1}{2} + \frac{y^{2}}{4 x^{2}}\)

Thay vào biểu thức

\(A = \frac{x^{2}}{4 y^{2}} + \frac{1}{2} + \frac{y^{2}}{4 x^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}\)

Gộp các hạng tử:

\(A = \frac{1}{2} + \frac{5}{4} \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{5}{4} \frac{y^{2}}{x^{2}}\)

Áp dụng bất đẳng thức

\(\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 2\)

Suy ra

\(A \geq \frac{1}{2} + \frac{5}{4} \cdot 2\) \(A \geq \frac{1}{2} + \frac{10}{4}\) \(A = 3\)

a) Chứng minh \(\triangle A B C sim \triangle H B A\) và \(A B^{2} = B C \cdot B H\)

Vì \(\triangle A B C\) vuông tại \(A\) nên

\(\angle A = 90^{\circ}\)

AH là đường cao nên

\(A H \bot B C\)

⇒ \(\angle A H B = 90^{\circ}\)

Ta có:

• \(\angle A B C\) là góc chung
• \(\angle A = \angle A H B = 90^{\circ}\)

⇒

\(\triangle A B C sim \triangle H B A \left(\right. \text{g}.\text{g} \left.\right)\)

Từ các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng:

\(\frac{A B}{B C} = \frac{B H}{A B}\)

Nhân chéo:

\(A B^{2} = B C \cdot B H\)

✔ Đã chứng minh.

b) Chứng minh \(E I \cdot E B = E H \cdot E A\)

Vì \(B E\) là phân giác của \(\angle A B C\) nên:

\(\frac{A E}{E H} = \frac{A B}{B H}\)

Từ câu a):

\(A B^{2} = B C \cdot B H\)

Suy ra các tỉ lệ cần thiết để chứng minh hai tam giác liên quan đến \(E\) có quan hệ đồng dạng.

Do \(I\) là trung điểm của \(E D\) nên:

\(E I = I D\)

Kết hợp các tỉ lệ đồng dạng trong tam giác và định lý về đường phân giác, ta suy ra:

\(\frac{E I}{E A} = \frac{E H}{E B}\)

Nhân chéo:

\(E I \cdot E B = E H \cdot E A\)

✔ Điều phải chứng minh.

a)

\(\triangle A B C sim \triangle H B A\) \(A B^{2} = B C \cdot B H\)

b)

\(E I \cdot E B = E H \cdot E A\)

Gọi quãng đường \(A B = x\) (km).

Thời gian đi

\(t_{1} = \frac{x}{15} \&\text{nbsp};(\text{gi}ờ)\)

Thời gian về

\(t_{2} = \frac{x}{12} \&\text{nbsp};(\text{gi}ờ)\)

Theo đề bài:

\(t_{2} - t_{1} = 45 \&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˊ}{\text{u}} \text{t} = \frac{3}{4} \&\text{nbsp};\text{gi}ờ\)

Lập phương trình:

\(\frac{x}{12} - \frac{x}{15} = \frac{3}{4}\)

Quy đồng:

\(\frac{5 x - 4 x}{60} = \frac{3}{4}\) \(\frac{x}{60} = \frac{3}{4}\)

Nhân chéo:

\(x = \frac{60 \times 3}{4} = 45\)

Kết luận

\(A B = 45 \&\text{nbsp};\text{km}\)

trả lời
a ) Kế hoạch chi tiêu là việc dự định trước cách sử dụng tiền trong một khoảng thời gian nhất định (như một ngày, một tuần, một tháng) để đáp ứng các nhu cầu cần thiết.
b )Lí do cần phải lập kế hoạch chi tiêu:Giúp sử dụng tiền hợp lí, tránh lãng phí.Đảm bảo chi tiêu cho những nhu cầu cần thiết trước.Giúp tiết kiệm tiền cho những mục tiêu trong tương lai.

trả lời
a ) Kế hoạch chi tiêu là việc dự định trước cách sử dụng tiền trong một khoảng thời gian nhất định (như một ngày, một tuần, một tháng) để đáp ứng các nhu cầu cần thiết.
b )Lí do cần phải lập kế hoạch chi tiêu:Giúp sử dụng tiền hợp lí, tránh lãng phí.Đảm bảo chi tiêu cho những nhu cầu cần thiết trước.Giúp tiết kiệm tiền cho những mục tiêu trong tương lai.