a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF. ⇒ AEFD là hình bình hành. Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành. b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường. Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường. Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G(gt) nên G là trung điểm của tam giác ABC

Suy ra GM = GB/2,,GN=GC/2( Trung tâm của tam giác)

P là trung điểm của GB(gt)

Nên GP=PB=CB/2

Q LÀ trung điểm của G (gt) nên GC=QC=GC/2

Suy ra GM=GP mà GN=GQ

Xét tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại Trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành

) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF. ⇒ AEFD là hình bình hành. Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành. b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường. Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường. Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Chứng minhAM = OCN Vì ABCD là hình bình hành, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Do đó, ta có AO = CO. Vì ABCD là hình bình hành, ta có AB \CD. Xét hai tam giác OAM và \AO = CO (do O là trung điểm của AC). OAM (hai góc so le trong của hai đường thẳng song song AB \CD và đường thẳng AC cắt chúng). AOM = \CON (hai góc đối đỉnh). Theo trường hợp bằng nhau cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta có OAM = OCN. 2. Suy ra tứ giác MBND là hình bình hành Từ OAM = OCN (chứng minh ở phần 1), suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng). Điều này có nghĩa là O là trung điểm của đoạn thẳng MN. Vì ABCD là hình bình hành, O là trung điểm của đường chéo BD. Xét tứ giác MBND, ta thấy hai đường chéo MN và BD của nó cắt nhau tại điểm O. Ta đã chứng minh được O là trung điểm của MN và O cũng là trung điểm của BD. Một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là một hình bình hành. Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

Xét tứ giác AEFD: E là trung điểm của AB \ AE = \{2}AB F là trung điểm của CD \DF Mà AB = CD (tính chất hình bình hành) \ AE = DF AE // DF (vì AB // CD) Tứ giác AEFD có AE = DF và AE // DF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành). Xét tứ giác AECF: Chứng minh tương tự như trên, ta có: AE = AB = CD) AE // CF (vì AB // CD) Tứ giác AECF có AE = CF và AE // CF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành). b) Chứng minh EF = AD, AF = EC: Vì AEFD là hình bình hành (chứng minh trên) nên EF = AD (tính chất hình bình hành). Vì AECF là hình bình hành (chứng minh trên) nên AF = EC (tính chất hình bình hành).