Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC

=> GM = GB/2 ;GN = GC/2 {1}

Mà P là trung điểm của GB nên GP = PB = GB/2 {2}

Q là trung điểm của GC nên GQ = QC = GC/2 {3}

Từ 1,2,3 suy ra GM = GP ;GN = GQ

Xét tứ giác PQMN có GM = GP ;GN = GQ {CMT}

Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD , AB // CD

Mà hai điểm B,C lần lượt là trung điểm AE,DF

suy ra AE=DF,AB=BE=CD=CF

Tứ giác AEFD có AE//DF {vì AB//CD}, AE=DF{CMT}

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Tứ giác ABFC có AB//CF {AB//CD},AE=DF{CMT}

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành

b,Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường,

giao điểm đó ta gọi là O

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC

Mà O là trung điểm của AF

=> O cũng là trung điểm của BC

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF,DE,BC trùng nhau

xét tam giác OAM và tam giác OCN có

BAC = ACD <slt>

OA = OA

AOM = CON <đối đỉnh>

=> tam giác OAM = tam giác OCN g-c-g => AM = CN

Ta có

AB = CD => AB-AM = CD-CN => MB = ND <1>

Ta có

AB//CD => MB//ND <2>

Từ 1 và 2 => MBND là hình bình hành

a,Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD và AB=CD

E là trung điểm của AB nên AE=1/2 AB

F là trung điểm của CD nên DF=1/2 CD

Vì AB=CD nên AE=DF

Vì AB//CD nên AE//DF

Tứ giác AEFD có một cặp cạnh đối AE và DF song song và bằng nhau nên AEFD là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD và AB=CD

E là trung điểm của AB nên AE=1/2 AB

F là trung điểm của CD nên CF=1/2 CD

Vì AB = CD nên AE = CF

Vì AB // CD nên AE // CF

Tứ giác AECF có một cặp cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau nên AECF là hình bình hành

=> Hai tứ giác AEFD và AECF là hình bình hành

b,vì AEFD là hình bình hành <cmt>

nên các cặp cạnh đối bằng nhau

Do đó EF = AD

Vì AECF là hình bình hành <cmt>

nên các cặp cạnh đối bằng nhau

Do đó AF=EC

=>EF=AD,AF=EC