+ Gọi thời lượng công ty đặt quảng cáo trên sóng phát thanh là x  (phút), trên truyền hình là y (phút). Chi phí cho việc này là:800.000x + 4.000.000y   (đồng)

Mức chi này không được phép vượt qúa mức chi tối đa, tức:

800.000x+ 4.000.000y ≤ 16.000.000 hay x+ 5y-20 ≤ 0

Do các điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có:x ≥ 5 và y ≤ 4

Đồng thời do x; y  là thời lượng nên x; y ≥ 0

Hiệu quả chung của quảng cáo là x+ 6y

M( x; y) = x + 6y đạt giá trị lớn nhất.

Với các điều kiện : 

Trước tiên ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (*)

+Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng

(d) : x + 5y - 20= 0 và (d’) ; x = 5; ( d’’) y = 4.

Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\): \(2 x - y = 0\).

Ta có \(\left(\right. d \left.\right)\) chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, ví dụ điểm \(M \left(\right. 1 ; 0 \left.\right)\). Ta thấy \(\left(\right. 1 ; 0 \left.\right)\) là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ \(\left(\right. d \left.\right)\) và chứa điểm \(M \left(\right. 1 ; 0 \left.\right)\) (Miền không được tô màu ở hình vẽ sau).

y x 1 2 O

+ Gọi x( x ≥ 0 )  là số kg loại I cần sản xuất,y ( y ≥ 0 ) là số kg loại II cần sản xuất.

Suy ra số nguyên liệu cần dùng là 2x+ 4y, thời gian là 30x+ 15y có mức lời là 40.000x+ 30.000y

Theo giả thiết bài toán xưởng có 200kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc suy ra

2x+ 4y ≤ 200 hay x+ 2y- 100 ≤ 0 ; 30x+ 15y ≤ 1200 hay 2x+ y-80 ≤ 0

+ Tìm x; y thoả mãn hệ 

sao cho L( x; y) = 40.000x+ 30.000y đạt giá trị lớn nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng ( d) : x+ 2y-100= 0 và ( d’) : 2x+y-80=0

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng(tứ giác) không tô màu trên hình vẽ

Giá trị lớn nhất của L( x; y)  đạt tại một trong các điểm (0; 0) ; (40; 0) ; (0; 50) ; (20; 40)

+ Ta có L(0; 0) = 0; L( 40; 0) =1.600.000; 

L(0; 50) = 1.500.000; L(20; 40) =  2.000.000

suy ra giá trị lớn nhất của L(x; y)  là 2.000.000 khi (x; y) =(20; 40).

Vậy cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II để có mức lời lớn nhất.

• Miền 1:  y≤x𝑦≤𝑥và  y≥−x𝑦≥−𝑥.
• Miền 2:  y≥x𝑦≥𝑥và  y≤−x và 𝑦≤−𝑥.

• Miền nghiệm của hệ là giao của hai nửa mặt phẳng trên.

• Miền nghiệm của bất phương trình 2x−y≥02𝑥−𝑦≥0là nửa mặt phẳng bờ  y=2x𝑦=2𝑥chứa điểm  (1;0)(1;0), bao gồm cả đường thẳng. 
• Miền nghiệm của bất phương trình  x−2y2>2x+y+13𝑥−2𝑦2>2𝑥+𝑦+13là nửa mặt phẳng bờ  x+8y=-2𝑥+8𝑦=−2không chứa điểm  (0;0)(0;0), không bao gồm đường thẳng.