1.While I was sleeping, it started to rain heavily.
2.We were shocked when we heard the news.
3.Before my father leaves for work, he has breakfast.
4.After I finish my homework, I usually watch TV.

1.While I was sleeping, it started to rain heavily.
2.We were shocked when we heard the news.
3.Before my father leaves for work, he has breakfast.
4.After I finish my homework, I usually watch TV.

• Chọn \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \textrm{ } C \left(\right. c , 0 \left.\right) , \textrm{ } B \left(\right. x_{B} , y_{B} \left.\right)\). Khi đó \(M = \left(\right. 0 , y_{B} \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } P = \left(\right. \frac{x_{B}}{2} , \frac{y_{B}}{2} \left.\right)\).
• Đường \(M P\) cắt \(A C\) tại \(Q = \left(\right. x_{B} , 0 \left.\right)\).
• Tính được \(P Q^{2} = \frac{x_{B}^{2} + y_{B}^{2}}{4}\). Tính \(P I^{2}\) (với \(I\) là hình chiếu của \(A\) lên \(B C\)) cũng cho \(P I^{2} = \frac{x_{B}^{2} + y_{B}^{2}}{4}\). Vậy \(P I = P Q\) ⇒ \(\triangle P I Q\) cân tại \(P\).

1. Vì \(M\) là trung điểm của \(A C\) nên
   \(A M = M C = \frac{1}{2} A C .\)
2. Giả thiết cho \(B M = \frac{1}{2} A C\). Kết hợp với (1) ta có
   \(B M = A M = M C .\)
   Vậy \(M\) cách đều ba đỉnh \(A , B , C\).
   Suy ra \(M A = M B = M C\). Điều này có nghĩa là \(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A B C\) (tâm ngoại tiếp là điểm cách đều ba đỉnh).
3. Nhận xét quan trọng (lý thuyết lớp 8): Nếu tâm ngoại tiếp của tam giác nằm đúng trên đoạn \(A C\) và bằng trung điểm của \(A C\) thì tam giác đó phải là tam giác vuông tại đỉnh đối diện \(B\). (Vì trong tam giác vuông, tâm ngoại tiếp chính là trung điểm của cạnh huyền; và ngược lại nếu tâm ngoại tiếp trùng trung điểm của một cạnh thì đỉnh còn lại là đỉnh vuông.)
   Ở đây \(M\) vừa là tâm ngoại tiếp vừa là trung điểm của \(A C\), nên tam giác \(A B C\) vuông tại \(B\), tức
   \(\angle B = 90^{\circ} .\)
4. Ta biết ban đầu \(\angle A = 90^{\circ}\). Bây giờ có \(\angle B = 90^{\circ}\) và \(\angle A = 90^{\circ}\). Vì \(A B C D\) là hình thang vuông nên \(A B \parallel C D\).
5. • Do \(\angle A = 90^{\circ}\) và \(\angle B = 90^{\circ}\), hai cạnh kề \(A B\) và \(B C\) đều vuông góc với cùng một đường, nên \(B C\) song song với \(A D\). (Cụ thể: \(\angle A = 90^{\circ}\) cho \(A D \bot A B\); \(\angle B = 90^{\circ}\) cho \(B C \bot A B\). Nếu hai đường đều vuông góc với \(A B\) thì chúng song song với nhau: \(A D \parallel B C\).)
   • Do đó \(A B \parallel C D\) và \(A D \parallel B C\) — tức hai cặp cạnh đối song song, nên \(A B C D\) là hình bình hành. Thêm nữa một góc bằng \(90^{\circ}\) (ví dụ \(\angle A\)) nên hình bình hành đó là hình chữ nhật.

Kết luận: \(A B C D\) là hình chữ nhật.

1. Vì \(I\) là trung điểm của \(A C\) nên \(A I = I C\).
2. Vì \(I H = I D\) nên \(I\) cũng là trung điểm của \(H D\).
3. Vậy \(I\) là giao điểm của hai đường chéo \(A C\) và \(H D\) của tứ giác \(A H C D\), và \(I\) chia đôi cả hai đường chéo (AI = IC và HI = ID).
   (Ở trình độ lớp 8 ta đã biết: nếu hai đường chéo của một tứ giác cắt nhau và cùng chia đôi nhau thì tứ giác đó là hình bình hành.)
4. Do đó \(A H C D\) là một hình bình hành.
5. Vì \(A H\) là đường cao nên \(A H \bot B C\). Mặt khác \(H\) và \(C\) đều nằm trên đường thẳng \(B C\), nên đoạn \(H C\) là một đoạn trên \(B C\). Do đó \(A H \bot H C\).
   Trong hình bình hành, hai cạnh kề nhau \(A H\) và \(H C\) là góc của hình; nếu một góc bằng \(90^{\circ}\) thì tất cả các góc đều \(90^{\circ}\).
6. Kết luận: \(A H C D\) là hình bình hành có một góc vuông ⇒ đó là hình chữ nhật.

✔ Vậy tứ giác \(A H C D\) là hình chữ nhật.