bn tham khảo nhé

Lời giải

a,

Xét đường tròn $(O)$:

Vì $PQ$ là tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm $Q$ nên $PQ \perp OQ$.

Suy ra:

$$\widehat{PQO} = 90^\circ$$

Theo giả thiết, $OI \perp MN$ tại $I$.

Suy ra:

$$\widehat{PIO} = 90^\circ$$

Xét tứ giác $OQP$:

Ta có $\widehat{PQO} = 90^\circ$ và $\widehat{PIO} = 90^\circ$.

Hai đỉnh $Q$ và $I$ cùng nhìn đoạn thẳng $OP$ dưới một góc vuông.

Suy ra tứ giác $OQP$ nội tiếp đường tròn đường kính $OP$.

Vậy 4 điểm $O, I, Q, P$ cùng nằm trên một đường tròn.

b, Chứng minh $PH \cdot PO = PQ^2$ và $\frac{2}{PK} = \frac{1}{PM} + \frac{1}{PN}$

Xét đường tròn $(O)$ có $PQ$ và $PR$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $P$:

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có $PQ = PR$ và $PO$ là tia phân giác của góc $\widehat{QPR}$.

Tam giác $PQR$ cân tại $P$ (do $PQ = PR$) có $PO$ là đường phân giác nên đồng thời $PO$ cũng là đường cao.

Suy ra $PO \perp QR$ tại $H$.

Xét tam giác $PQO$ vuông tại $Q$, có $QH$ là đường cao ứng với cạnh huyền $PO$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

$$PH \cdot PO = PQ^2$$

Xét $\triangle PQM$ và $\triangle PNQ$ có:

Góc $\widehat{QPN}$ chung.

$\widehat{PQM} = \widehat{PNQ}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung $QM$).

Suy ra $\triangle PQM \sim \triangle PNQ$ (g.g). Ta có tỉ số đồng dạng:

$$\frac{PQ}{PN} = \frac{PM}{PQ} \implies PM \cdot PN = PQ^2$$

Xét $\triangle PKH$ và $\triangle POI$ có:

Góc $\widehat{OPI}$ chung.

$\widehat{PKH} = \widehat{POI}$ (do cùng bù với góc $\widehat{HKI}$ trong tứ giác nội tiếp $HKIO$).

Suy ra $\triangle PKH \sim \triangle POI$ (g.g). Ta có tỉ số đồng dạng:

$$\frac{PK}{PO} = \frac{PH}{PI} \implies PK \cdot PI = PH \cdot PO$$

Mà $PH \cdot PO = PQ^2$, do đó:

$$PK \cdot PI = PQ^2$$

Từ các hệ thức trên, ta suy ra:

$$PK \cdot PI = PM \cdot PN \implies PK = \frac{PM \cdot PN}{PI}$$

Vì $OI \perp MN$ tại $I$ nên $I$ là trung điểm của dây cung $MN$. Ta có:

$PM = PI - IM$

$PN = PI + IN$

Vì $IM = IN$ nên:

$$PM + PN = (PI - IM) + (PI + IM) = 2PI \implies PI = \frac{PM + PN}{2}$$

Thay giá trị của $PI$ vào hệ thức $PK \cdot PI = PM \cdot PN$, ta được:

$$PK \cdot \frac{PM + PN}{2} = PM \cdot PN$$

$$\implies \frac{PM + PN}{PM \cdot PN} = \frac{2}{PK}$$

$$\implies \frac{1}{PM} + \frac{1}{PN} = \frac{2}{PK}$$

Vậy $\frac{2}{PK} = \frac{1}{PM} + \frac{1}{PN}$.

Mã lớp : olm-1.102018260

đầu tiên bạn tham gia nhóm lớp của cô,chờ cô duyệt

sao đó bạn nhắn tin riêng vs cô Hoài để cô bt tên bạn muốn đổi

sau đó bạn chỉ cần đợi cô đổi là đc nhé

đầu tiên bạn tham gia nhóm lớp của cô,chờ cô duyệt

sao đó bạn nhắn tin riêng vs cô Hoài để cô bt tên bạn muốn đổi

sau đó bạn chỉ cần đợi cô đổi là đc nhé

Mã lớp: olm-1.102018260

con mèo đúg ko bn

?

ko giảm mấy

rep r mà bn

ok