Xét tam giác \(A B C\) có \(B C \bot \&\text{nbsp}; A B^{'}\) và \(B^{'} C^{'} \bot A B^{'}\) nên suy ra \(B C\) // \(B^{'} C^{'}\).

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có: \(\frac{A B}{A B^{'}}=\frac{B C}{B C^{'}}\)

Suy ra \(\frac{x}{x + h}=\frac{a}{a^{'}}\)

\(a^{'} . x = a \left(\right. x + h \left.\right)\)

\(a^{'} . x - a x = a h\)

\(x \left(\right. a^{'} - a \left.\right) = a h\)

\(x=\frac{ah}{a^{^{\prime}}-a}\).

Trong tam giác \(A D B\), ta có: \(M N\) // \(A B\) (gt)

Suy ra \(\frac{D N}{D B}=\frac{M N}{A B}\) (hệ quả định lí Thalès) (1)

Trong tam giác \(A C B\), ta có: \(P Q\) // \(A B\) (gt)

Suy ra \(\frac{C Q}{C B}=\frac{P Q}{A B}\) (hệ quả định lí Thalès) (2)

Lại có: \(N Q\) // \(A B\) (gt)

 \(A B\) // \(C D\) (gt)

Suy ra \(N Q\) // \(C D\)

Trong tam giác \(B D C\), ta có: \(N Q\) // \(C D\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\frac{D N}{D B}=\frac{C Q}{C B}\) (định lí Thalès) (3)

Từ 1,2 và 3 suy ra \(M N = P Q\).

Lấy \(D\) là trung điểm của cạnh \(B C\)

Khi đó, \(A D\) là đường trung tuyến của tam giác \(A B C\)

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A B C\) nên điểm \(G\) nằm trên cạnh \(A D\)

Ta có \(\frac{A G}{A D} = \frac{2}{3}\) hay \(A G = \frac{2}{3} A D\)

Vì \(M G\) // \(A B\), theo định lí Thalès

suy ra: \(\frac{A G}{A D} = \frac{B M}{B D} = \frac{2}{3}\)

Ta có \(B D = C D\) (vì \(D\) là trung điểm của cạnh \(B C\))

Suy ra \(\frac{B M}{B C} = \frac{B M}{2 B D} = \frac{2}{2.3} = \frac{1}{3}\)

Do đó \(B M = \frac{1}{3} B C\) (đpcm)

ABCD là hình thang suy ra \(A B\) // \(C D\).

Áp dụng hệ quả định lí Thalès, ta có: \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\)

Suy ra \(O A . O D = O B . O C\) (đpcm)

Áp dụng định lí Thalès, ta có:

Vì DE // AC nên AE/AB = CD/BC

Vì DF // AB nên AF/AC = BD/BC

Khi đó:  \(\frac{A E}{A B} + \frac{A F}{A C} = 1\).