Phần a: Vì tam giác ABC cân tại A nên góc ABC bằng góc ACB theo tính chất tam giác cân. Vì BQ là đường phân giác của góc ABC nên góc OBC bằng một nửa góc ABC. Vì CP là đường phân giác của góc ACB nên góc OCB bằng một nửa góc ACB. Do góc ABC bằng góc ACB nên góc OBC bằng góc OCB. Trong tam giác OBC, vì có hai góc ở đáy bằng nhau nên tam giác OBC là tam giác cân tại O. Phần b: Điểm O là giao điểm của hai đường phân giác BQ và CP của tam giác ABC. Theo tính chất ba đường phân giác của tam giác, ba đường này cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác. Vì O là giao điểm của các đường phân giác nên điểm O cách đều ba cạnh AB, AC và BC của tam giác ABC. Phần c: Trong một tam giác, ba đường phân giác đồng quy tại một điểm nên AO cũng là đường phân giác thứ ba của tam giác ABC. Mặt khác, tam giác ABC là tam giác cân tại A nên đường phân giác xuất phát từ đỉnh A đồng thời cũng là đường trung trực của cạnh đáy. Do đó, đường thẳng AO chính là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Điều này có nghĩa là đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC và vuông góc với nó. Phần d: Xét tam giác BQC và tam giác CPB có cạnh BC là cạnh chung. Góc QBC bằng góc PCB vì mỗi góc bằng một nửa của hai góc bằng nhau là ABC và ACB. Góc BCQ bằng góc CBP vì tam giác ABC cân tại A. Do đó tam giác BQC bằng tam giác CPB theo trường hợp góc cạnh góc. Từ việc hai tam giác này bằng nhau, ta suy ra cạnh CP bằng cạnh BQ vì đây là hai cạnh tương ứng. Phần e: Vì tam giác BQC bằng tam giác CPB nên cạnh BQ bằng cạnh CP và cạnh CQ bằng cạnh BP. Ta có cạnh AB bằng cạnh AC vì tam giác ABC cân tại A. Khi lấy AB trừ đi BP và lấy AC trừ đi CQ, ta được đoạn thẳng AP bằng đoạn thẳng AQ. Xét tam giác APQ có hai cạnh AP và AQ bằng nhau nên tam giác APQ là tam giác cân tại A.

Phần a: Xét tam giác OAD và tam giác OCB có cạnh OA bằng cạnh OC theo giả thiết bài cho. Góc O là góc chung của cả hai tam giác. Cạnh OD bằng cạnh OB cũng theo giả thiết bài cho. Do đó tam giác OAD bằng tam giác OCB theo trường hợp cạnh góc cạnh. Từ việc hai tam giác này bằng nhau, ta suy ra cạnh AD bằng cạnh BC vì đây là hai cạnh tương ứng. Phần b: Vì tam giác OAD bằng tam giác OCB nên góc OAD bằng góc OCB và góc ODA bằng góc OBC do đây là các cặp góc tương ứng. Ta có đoạn thẳng AB bằng hiệu của OA trừ đi OB, đoạn thẳng CD bằng hiệu của OC trừ đi OD. Vì OA bằng OC và OB bằng OD nên suy ra AB bằng CD. Xét tam giác ABE và tam giác CDE có cạnh AB bằng cạnh CD như vừa chứng minh. Góc BAE bằng góc DCE vì chúng lần lượt bằng góc OAD và góc OCB. Góc ABE bằng góc CDE vì chúng là các góc bù với hai góc bằng nhau là OBC và ODA. Do đó tam giác ABE bằng tam giác CDE theo trường hợp góc cạnh góc. Phần c: Từ kết quả tam giác ABE bằng tam giác CDE ở câu b, ta suy ra cạnh EA bằng cạnh EC vì đây là hai cạnh tương ứng. Xét tam giác OEA và tam giác OEC có cạnh OA bằng cạnh OC theo giả thiết. Cạnh OE là cạnh chung của cả hai tam giác. Cạnh EA bằng cạnh EC như vừa chứng minh ở trên. Do đó tam giác OEA bằng tam giác OEC theo trường hợp cạnh cạnh cạnh. Suy ra góc EOA bằng góc EOC vì đây là hai góc tương ứng. Vì góc EOA bằng góc EOC nên tia OE chính là tia phân giác của góc xOy.

Phần a: Xét tam giác vuông IOE và tam giác vuông IOF có cạnh huyền OI là cạnh chung. Vì Om là tia phân giác của góc xOy nên góc EOI bằng góc FOI theo tính chất tia phân giác. Do đó, tam giác IOE bằng tam giác IOF theo trường hợp cạnh huyền và góc nhọn. Từ việc hai tam giác này bằng nhau, ta suy ra cạnh OE bằng cạnh OF vì đây là hai cạnh tương ứng. Phần b: Gọi H là giao điểm của đoạn thẳng EF và tia Om. Xét tam giác OHE và tam giác OHF có cạnh OE bằng cạnh OF như đã chứng minh ở câu a. Góc EOH bằng góc FOH vì Om là tia phân giác của góc xOy. Cạnh OH là cạnh chung của cả hai tam giác. Do đó, tam giác OHE bằng tam giác OHF theo trường hợp cạnh góc cạnh. Từ đó suy ra góc OHE bằng góc OHF vì đây là hai góc tương ứng. Mặt khác, vì góc OHE và góc OHF là hai góc kề bù nên tổng của chúng bằng 180 độ. Khi hai góc bằng nhau mà tổng bằng 180 độ thì mỗi góc phải bằng 90 độ. Điều này chứng tỏ đoạn thẳng OH vuông góc với đoạn thẳng EF. Vì H nằm trên tia Om nên ta kết luận được EF vuông góc với Om.

Xét tam giác ABC có tia AD là tia phân giác của góc A. Theo tính chất tia phân giác, mọi điểm nằm trên tia phân giác của một góc sẽ cách đều hai cạnh của góc đó. Do đó, điểm I nằm trên tia AD sẽ cách đều hai đường thẳng AB và AC. Gọi khoảng cách từ I đến đường thẳng AC là đoạn thẳng Im. Khi đó ta có IH bằng Im vì I thuộc tia phân giác của góc A. Mặt khác, theo đề bài, tia DI là tia phân giác của góc ADC. Điểm I nằm trên tia phân giác DI nên điểm I cũng cách đều hai cạnh của góc ADC là đường thẳng AC và đường thẳng BC. Vì H là hình chiếu của I trên AB nên IH là khoảng cách từ I đến AB. Vì K là hình chiếu của I trên BC nên IK là khoảng cách từ I đến BC. Theo lập luận trên, khoảng cách từ I đến AB bằng khoảng cách từ I đến AC, và khoảng cách từ I đến AC bằng khoảng cách từ I đến BC. Từ hai điều này, ta suy ra được IH bằng IK vì chúng cùng bằng khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng AC. Vậy ta đã chứng minh được IH bằng IK.

Kẻ DH vuông góc với đường thẳng AB tại H và DK vuông góc với đường thẳng AC tại K. Vì điểm D nằm trên tia phân giác của góc A nên DH bằng DK theo tính chất tia phân giác của một góc. Vì điểm D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC nên DB bằng DC theo tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng. Xét tam giác vuông DHB và tam giác vuông DKC có: Cạnh huyền DB bằng cạnh huyền DC như đã chứng minh ở trên. Cạnh góc vuông DH bằng cạnh góc vuông DK như đã chứng minh ở trên. Do đó, tam giác DHB bằng tam giác DKC theo trường hợp cạnh huyền và cạnh góc vuông. Từ việc hai tam giác này bằng nhau, ta suy ra BH bằng CK vì đây là hai cạnh tương ứng. Vậy ta đã chứng minh được BH bằng CK.

Xét trọng tâm G: Vì BE và CF là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm của △ABC. Ta có: BG=2/3BE và CG=2/3CF. Mà BE=CF (gt) ⇒BG=CG. Chứng minh △ABC cân: Xét △BGC có BG=CG⇒△BGC cân tại G. ⇒ GBC = GCB . Xét △EBC và △FCB có: BC là cạnh chung. EBC = FCB (chứng minh trên). BE=CF (gt). ⇒△EBC=△FCB (c.g.c). ⇒EC=FB (hai cạnh tương ứng). Vì E,F lần lượt là trung điểm của AC,AB nên: AC=2EC và AB=2FB. ⇒AB=AC⇒△ABC cân tại A. Kết luận: Trong △ABC cân tại A, đường trung tuyến AG đồng thời là đường cao. Vậy AG⊥BC. (đpcm)

a) G là trọng tâm suy ra BG = 2/3 BD, CG = 2/3 CE Lại có DM = DG, EN = EG suy ra G là trung điểm DM, EN Suy ra BG = GM, CG = GN b) Từ trên suy ra M đối xứng B qua G, N đối xứng C qua G Suy ra MN = BC và MN // BC

a) G là trọng tâm suy ra BG = 2/3 BD, CG = 2/3 CE Lại có DM = DG, EN = EG suy ra G là trung điểm DM, EN Suy ra BG = GM, CG = GN b) Từ trên suy ra M đối xứng B qua G, N đối xứng C qua G Suy ra MN = BC và MN // BC

a) G là trọng tâm suy ra BG = 2/3 BD, CG = 2/3 CE Lại có DM = DG, EN = EG suy ra G là trung điểm DM, EN Suy ra BG = GM, CG = GN b) Từ trên suy ra M đối xứng B qua G, N đối xứng C qua G Suy ra MN = BC và MN // BC

G là trọng tâm ⇒ BM = 3/2 GM, CN = 3/2 GN ⇒ BM + CN = 3/2 (GM + GN) Xét ΔGBC: GM + GN > BC ⇒ BM + CN > 3/2 BC