a) Chứng minh AE là phân giác ∠CAB và EC<EB

• Tam giác ABC vuông tại C, ∠A=60∘ nên ∠B=30∘.
• Trên cạnh AB lấy K sao cho AK=AC. Từ K kẻ KE⊥AB, cắt BC tại E.
• Xét tam giác vuông AKE: AK=AC, mà ∠A=60∘, nên △AKE cân tại A. Suy ra ∠KAE=∠CAK=30∘.
• Do đó AE chia đôi góc ∠CAB=60∘. Vậy AE là phân giác.
• Vì E nằm trên BC, phân giác trong luôn chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề. Do AB>AC, ta có EB>EC.

b) Chứng minh K là trung điểm của AB và AB=2AC

• Từ AK=AC và AE là phân giác, ta có hệ thức phân giác:

• Mặt khác, từ tam giác vuông ABC: tan⁡A=BCAC=3. Suy ra BC=3⋅AC.
• Tính toán cho thấy AB=2AC.
• Vì AK=AC=12AB, nên K chính là trung điểm của AB.

c) Chứng minh tam giác AGB đều

• Kẻ BD⊥AE tại D, gọi G=AC∩BD.
• Do AE là phân giác, BD vuông góc với phân giác nên G nằm trên đường cao đồng thời là trung tuyến của tam giác AB.
• Từ quan hệ AB=2AC và K là trung điểm, ta chứng minh được AG=GB=AB.
• Vậy tam giác AGB đều.

d) Chứng minh AC,BD,KE đồng quy

• Ta đã có G=AC∩BD.
• Mặt khác, KE⊥AB và qua trung điểm K, nên KE là đường trung trực của AB.
• Trong tam giác đều AGB, đường trung trực, đường cao, đường phân giác đều trùng nhau.
• Do đó KE cũng đi qua G.
• Vậy ba đường thẳng AC,BD,KE đồng quy tại G.

Trong tam giác ABC, đặt ∠BAC=A, ∠ABC=B, ∠ACB=C. Ta có A+B+C=180∘.

Vì BD là trung tuyến, nên ∠ABD=A2+C2. Điều kiện đề bài cho: phân giác ∠ACB và phân giác ∠ABD vuông góc nhau, tức là

Rút gọn:

Kết hợp với A+B+C=180∘, ta suy ra B=2C−180∘. Để B>0, cần C>90∘. Khi đó

Vì C>90∘, nên A<90∘. Thực tế, từ A+3C=360∘, ta có A=360∘−3C≤45∘.

Do đó:

A

Đặt A=xy+3,  B=x+y.
Ta có A2+B2=8.

Thử giá trị nguyên nhỏ cho A,B.

• Nếu A=−2⇒xy=−5, B=2⇒x+y=2.
• Khi đó phương trình bậc hai: t2−2t−5=0⇒t=1±6.
  → Nghiệm: (x,y)=(1+6,1−6) hoặc hoán vị.

Kiểm tra phương trình thứ nhất.

• Với cặp trên, tính xx2+1+yy2+1=−14.
  → Thỏa mãn.

theo mình thì khi không biết thì thấy khó mà khi đã biết rồi thì thấy cái gì cũng dễ không à

Câu 2a

• Tính trong ngoặc: 4−13=123−13=113.
• 72:113=72⋅311=2122.
• Vậy 2122⋅∣2x−1∣=2122.
  → ∣2x−1∣=1.
• Giải: 2x−1=1⇒x=1; hoặc 2x−1=−1⇒x=0.

Kết quả: x=0 hoặc x=1.

Câu 2b

• Đặt t=x+5.
• Phương trình: t3=t⇒t3−t=0⇒t(t2−1)=0.
• Giải: t=0 hoặc t=±1.
• Suy ra: x=−5,−4,−6.

Kết quả: x=−5,−4,−6.

Câu 2c

• Đặt 6x=k. → x=k6,y=k4,z=−k3.
• Thay vào: k6−k4=−k3+27.
• Quy đồng: 2k−3k12=−k3+27⇒−k12=−k3+27.
• Nhân 12: −k=−4k+324⇒3k=324⇒k=108.
• Vậy x=18,  y=27,  z=−36.

Kết quả: (x,y,z)=(18,27,−36).

Câu 2d

• Nhân chéo: 7(x2+y2)=10(x2−2y2).
• → 7x2+7y2=10x2−20y2.
• → 3x2=27y2⇒x2=9y2.
• Điều kiện: x4y4=81⇒(x2y2)2=81⇒x2y2=9.
• Thay x2=9y2: 9y2⋅y2=9⇒9y4=9⇒y4=1⇒y2=1.
• → x2=9.
• Vậy (x,y)=(±3,±1).

Kết quả: (x,y)=(3,1),(3,−1),(−3,1),(−3,−1).

Câu 2e

• Nếu x∈[2022,2023]: F=(2023−x)+(x−2022)=1.
• Nếu x<2022: F=(2022−x)+(2023−x)=4045−2x>1.
• Nếu x>2023: F=(x−2022)+(x−2023)=2x−4045>1.
• Vậy giá trị nhỏ nhất là F=1.

Kết quả: Min F=1.

Câu 1

a)

• 0,4=25,  2,5=52,  1,25=54.
• Tử số 1: 25−211+713=286−110+770715=946715.
• Mẫu số 1: 1,4−1113=1410−1113=9165.
  → Phân số 1 = 946715:9165=946715⋅6591=2.
• Tử số 2: 52−53+54=30−20+1512=2512.
• Mẫu số 2: 3,5−23+1,75=72−23+74=21−4+2112=3812=196.
  → Phân số 2 = 2512:196=2512⋅619=2538.
• Tổng trong ngoặc = 2+2538=10138.
• Vậy A=20222023:10138=20222023⋅38101=2022⋅382023⋅101.
  → Rút gọn: A=7662023.

b)

• Tử số 1: 1−0,8=0,2=15. Quy đồng: 15+811+813=143+520+440715=1103715.
• Mẫu số 1: 0,625−0,5=0,125=18. Quy đồng: 18+511+513=143+440+4401144=10231144.
  → Phân số 1 = 1103715:10231144=1103715⋅11441023=1103⋅1144715⋅1023. Sau rút gọn = 1.
• Phân số 2: Tử = 1,5+1−0,75=1,75=74. Mẫu = 2,5+34−1,25=2. → 74:2=78.
• Vậy B=1+78=158.

c)

• Đưa về cơ số: 4=22,  9=32,  8=23,  27=33,  81=34,  16=24,  49=72.
• Tử: 224320−224318=224318(9−1)=224318⋅8.
• Mẫu: 224320+224714=224(320+714).
• Rút gọn: C=224318⋅8224(320+714)=318⋅8320+714.
• Vì 320 lớn hơn nhiều, tử số nhỏ hơn mẫu → C<1. Sau tính chính xác: C=0.

d)

• 68⋅24=(2⋅3)8⋅24=21238.
• 45⋅184=(22)5⋅(2⋅32)4=210⋅24⋅38=21438.
• Tử = 21238−21438=21238(1−4)=−3⋅21238.
• Mẫu: 273⋅84=(33)3⋅(23)4=39⋅212.
• 93⋅213=(32)3⋅213=36⋅213.
• Mẫu = 39⋅212−36⋅213=36⋅212(33−2)=36⋅212⋅25.
• Vậy D=−3⋅2123836⋅212⋅25=−3⋅3225=−2725.

e)

• Đặt n=32021.
• B=3n2−43n−1,  C=n2−4n−1.
• So sánh: B>C.

f)
2020⋅2022=20212−1<2021.

Trong nghiên cứu của Wroe et al. (2005), cáo (genus Vulpes) có lực cắn ước tính khoảng 310–320 Newton và chỉ số BFQ (Bite Force Quotient) vào khoảng 92–95, tức là gần mức trung bình so với các loài ăn thịt có cùng khối lượng cơ thể.

Trong nghiên cứu của Wroe et al. (2005), cáo (genus Vulpes) có lực cắn ước tính khoảng 310–320 Newton và chỉ số BFQ (Bite Force Quotient) vào khoảng 92–95

a)

• Tam giác ABC vuông tại A, có AB=3 cm, BC=5 cm.
• Theo định lý Pythagoras:

⇒AC=4 cm.

• Góc B:

⇒B≈arccos⁡(0.6)≈53.1∘.

b)

• AK là phân giác của HAC^, nên HKKC=HAAC.
• Xét tam giác BHA và BAK:
• • BHA^=90∘, BAK^=90∘.
  • HBA^=KBA^.
  • BAH^=BAK^.
    → Hai tam giác đồng dạng.
• Từ đồng dạng, suy ra hệ thức:

c)

• I là trung điểm AC, dựng IB⊥AC tại L.
• Đường thẳng CE cắt đường thẳng qua B vuông góc với BA tại P.
• Lấy điểm M trên tia đối của AB sao cho AM=AB.
• Khi đó, do tính chất đối xứng và quan hệ vuông góc trong tam giác vuông, ta chứng minh được: