Ta có đường thẳng AH cùng vuông góc với đường thẳng BD và đường thẳng CK cùng vuông góc với đường thẳng BD, nên AH song song với CK.

​Xét tam giác vuông AHB và tam giác vuông CKD có:

​Cạnh huyền AB bằng cạnh huyền CD (vì ABCD là hình bình hành).

​Góc ABH bằng góc CDK (hai góc so le trong do AB song song với CD).

​Do đó, tam giác vuông AHB bằng tam giác vuông CKD (trường hợp cạnh huyền - góc nhọn).

​Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng).

​Tứ giác AHCK có cặp cạnh đối AH và CK vừa song song vừa bằng nhau nên AHCK là hình bình hành

​Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, suy ra O là trung điểm của AC và BD.

​Vì tứ giác AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường; mà O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của HK.

​Mặt khác, đề bài cho I là trung điểm của HK, từ đó suy ra điểm I trùng với điểm O.

​Vì I chính là tâm của hình bình hành ABCD nên I là trung điểm của đoạn thẳng BD.

​Vậy IB = ID.

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên cạnh AD song song với BC và AD = BC.

​Vì E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC nên đoạn ED song song với BF và ED = BF.

​Tứ giác EBFD có cặp cạnh đối ED và BF vừa song song vừa bằng nhau nên EBFD là hình bình hành

​Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD, suy ra O là trung điểm của BD.

​Vì EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

​Do O là trung điểm của BD nên O cũng thuộc đoạn thẳng EF.

​Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét \Delta ABC có:

​M là trung điểm của AC

​N là trung điểm của ABsuy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.suy ra MN song song BC và MN = 1/2 BC (1)

Xét tam giác GBC có:

​P là trung điểm của GB

​Q là trung điểm của GC suy ra PQ là đường trung bình của tam giác GBC.suy ra PQ song song BC và PQ = 1/2 BC (2)

​Từ (1) và (2) suy ra: MN song song PQ và MN = PQ 1/2=BC).

​Tứ giác PQMN có MN song song PQ và MN = PQ nên PQMN là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Tứ giác AEFD: Có AE = DF (vì AE = 2AB, DF = 2CD và AB = CD) và AE song song DF (do AB song song CD). Suy ra AEFD là hình bình hành.

​Tứ giác ABFC: Có AB = CF (vì AB = CD = CF) và AB song song CF (do AB song song CD). Suy ra ABFC là hình bình hành.

Vì AEFD là hình bình hành nên hai đường chéo AF và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

​Vì ABFC là hình bình hành nên hai đường chéo AF và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

​Do đó, trung điểm của AF cũng là trung điểm của DE và BC. Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng này trùng nhau.

Chứng minh tam giác OAM bằng tam giác OCN:Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, suy ra O là trung điểm của AC. Do đó ta có OA = OC.Vì AB song song với CD nên góc OAM bằng góc OCN (hai góc so le trong).Xét tam giác OAM và tam giác OCN có:Góc MOA bằng góc NOC (hai góc đối đỉnh).OA = OC (vì O là trung điểm của AC).Góc OAM bằng góc OCN (hai góc so le trong).Do đó, tam giác OAM bằng tam giác OCN (theo trường hợp góc - cạnh - góc).​Suy ra tứ giác MBND là hình bình hành:Vì tam giác OAM bằng tam giác OCN nên ta có OM = ON (hai cạnh tương ứng).Xét tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (vì O là trung điểm của MN và O là trung điểm của BD).Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

) Chứng minh hai tứ giác AEFD và AECF là hình bình hành:Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên ta có AB song song với CD và AB = CD.Vì E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD nên ta có AE = 1/2 AB và DF = 1/2 CD.Do AB = CD nên suy ra AE = DF.Mặt khác, vì AB song song với CD nên AE song song với DF.Xét tứ giác AEFD có AE song song với DF và AE = DF nên tứ giác AEFD là hình bình hành.​Tương tự, ta có AE = 1/2 AB và CF = 1/2 CD, suy ra AE = CF.Vì AB song song với CD nên AE song song với CF.Xét tứ giác AECF có AE song song với CF và AE = CF nên tứ giác AECF là hình bình hành.​b) Chứng minh EF = AD và AF = EC:Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên các cạnh đối bằng nhau, suy ra EF = AD.Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên các cạnh đối bằng nhau, suy ra AF = EC