+) Xét tam giác ABC có:

      hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

      nên G là trọng tâm của ΔABC

Suy ra GM=GB:2​; GN=GC:2​ (1)

 mà P là trung điểm của GB nên GP=PB=GB:2​(2)

      Q là trung điểm của GC nên GQ=QC=GC:2​(3)

+) Từ (1), (2) và (3)

Suy ra GM=GP và GN=GQ

+) Xét tứ giác PQMN có:

        GM=GP (cmt)

        GN=GQ (cmt)

Suy ra, tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường

nên PQMN là hình bình hành

Vậy PQMN là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành

 nên AD // BC và AD= BC

+) Vì AD // BC

 nên góc ADB =góc CBD( 2 góc so le trong)

+) Xét ΔADH và ΔCBK có:

     góc AHD =gócCKB=90∘

     AD=BC (cmt)

     góc ADH =góc CBK(do góc ADB =góc CBD).

Suy ra, Δ ADH=Δ CBK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH=CK (hai cạnh tương ứng).

+) Ta có AH⊥ DB và CK⊥ DB

 nên AH // CK

+) Xét tứ giác AHCK có:

       AH // CK

       AH=CK

Suy ra, AHCK là hình bình hành

b) Vì AHCK là hình bình hành

 nên AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

 mà I là trung điểm của HK

 nên Ilà trung điểm của AC

+) Vì ABCD là hình bình hành

 nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

 mà I là trung điểm của AC

nên I là trung điểm của BD

Suy ra, IB = ID

Vậy a) AHCK là hình bình hành

       b) IB = ID

a) Vì ABCD là hình bình hành

 nên AD = BC; AD // BC

 mà E là trung điểm của AD

 nên AE = ED

 mà F là trung điểm của BC

 nên BF = FC.

Suy ra, DE = BF.

+) Xét tứ giác EBFD có:

      DE // BF (do AD // BC)

      DE = BF (cmt)

Suy ra, EBFD là hình bình hành

b) Ta có O là giao điểm của AC và BD

+) Vì ABCD là hình bình hành

 nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

 mà O là giao điểm của AC và BD

 nên O là trung điểm AC và BD

+) Vì EBFD là hình bình hành

 nên BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

 mà O là trung điểm của BD

 nên O là trung điểm của EF

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng

a) Vì ABCD là hình bình hành

 nên AB = CD hay AE // DF hay AB // CF

 mà B, C lần lượt là trung điểm AE, DF

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

+) Xét tứ giác AEFD có:

           AE // DF (cmt)

           AE = DF (cmt).

Suy ra, AEFD là hình bình hành.

+) Xét tứ giác ABFC có:

            AB // CF (cmt)

            AB = CF (cmt).

Suy ra, ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành

 nên AF và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

 ta gọi giao điểm đó là O.

+) Xét hình bình hành AEFD có:

        hai đường chéo AF và BC

        mà O là trung điểm của AF.

Suy ra, O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

+) Vì ABCD là hình bình hành

 nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

 nên o là trung điểm AC và BD

Suy ra, OA=OC, OB=OD

+) Vì ABCD là hình bình hành

 nên AB // CD hay AM // CN

 Suy ra góc OAM= góc OCN (hai góc so le trong).

+) Xét ΔOAM và Δ OCN có:

     góc OAM= góc OCN  (cmt)

            OA=OC (cmt)

         góc AOM = góc CON (hai góc đối đỉnh)

Suy ra, Δ OAM=Δ OCN (g.c.g)

Suy ra, AM=CN (hai cạnh tương ứng)

+) Vì ABCD là hình bình hành

 nên AB = CD

+) Ta có: AB=CD (cmt)

 mà AB=AM+BM

       CD=CN+DN

Suy ra, BM=DN

+) Xét tứ giác MBND có:

        BM // DN (AB // CD)

        BM=DN (cmt)

Suy ra, MBND là hình bình hành.

Vậy MBND là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành

     nên AB = CD

            AB // CD hay AE // DF hay AE // CF

     mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD

     nên AE + BE = AB

             CF + DF = CD ​CD

Suy ra, AE = BE = CF = DF.

+) Xét tứ giác AEFD có:

           AE // DF (cmt)

           AE = DF (cmt)

Suy ra, AEFD là hình bình hành.

+) Xét tứ giác AECF có:

           AE // CF (cmt)

           AE = CF (cmt)

Suy ra, AECF là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành

     nên EF = AD

+) Vì AECF là hình bình hành

     nên AF = EC

Vậy a) AECF, AEFD là hình bình hành

       b) EF = AD, AF = EC