a) Chứng minh \(B , F , E , C\) cùng thuộc đường tròn tâm \(M\)

Vì \(B E \bot A C\) và \(E \in A C\) nên

\(\angle B E C = 90^{\circ} .\)

Tương tự, \(C F \bot A B\) nên

\(\angle B F C = 90^{\circ} .\)

Mà \(M\) là trung điểm \(B C\), nên trong tam giác vuông \(B E C\):

\(M E = M B = M C = \frac{B C}{2} .\)

Tương tự:

\(M F = M B = M C = \frac{B C}{2} .\)

Do đó

\(\boxed{M B = M F = M E = M C} .\)

Vậy \(B , F , E , C\) cùng thuộc đường tròn tâm \(M\), bán kính

\(\boxed{\frac{B C}{2}} .\)

Chứng minh \(O M\) là phân giác \(\angle B O C\)

Ta có:

\(O B = O C = R\)

và

\(M B = M C .\)

Lại có \(O M\) chung.

Suy ra

\(\triangle O M B = \triangle O M C\)

(theo c.c.c).

Do đó

\(\boxed{\angle B O M = \angle M O C} .\)

Vậy \(O M\) là phân giác của \(\angle B O C\).

b) Chứng minh \(D C\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. O \left.\right)\)

Vì \(O M\) là phân giác \(\angle B O C\), đồng thời \(O B = O C\), nên \(O M \bot B C\).

Đặt

\(M B = M C = x , O M = d , D M = t .\)

Vì \(O B = R\), tam giác \(O M B\) vuông tại \(M\), nên

\(R^{2} = d^{2} + x^{2} .\)

Do \(D B\) là tiếp tuyến tại \(B\):

\(D B^{2} = D O^{2} - R^{2} .\)

Mặt khác,

\(D O = D M + M O = t + d\)

và

\(D B^{2} = D M^{2} + M B^{2} = t^{2} + x^{2} .\)

Suy ra

\(t^{2} + x^{2} = \left(\right. t + d \left.\right)^{2} - \left(\right. d^{2} + x^{2} \left.\right)\) \(\Rightarrow t^{2} + x^{2} = t^{2} + 2 t d - x^{2}\) \(\Rightarrow \boxed{t d = x^{2}} .\)

Bây giờ:

\(D C^{2} = D M^{2} + M C^{2} = t^{2} + x^{2} .\)

Trong khi

\(D B^{2} = t^{2} + x^{2} .\)

Vậy

\(D B = D C .\)

Ta có \(O B = O C\), \(D B = D C\), \(O D\) chung nên

\(\triangle O B D = \triangle O C D .\)

Mà \(D B \bot O B\) do \(D B\) là tiếp tuyến, suy ra

\(\angle O C D = 90^{\circ} .\)

Hay

\(\boxed{D C \bot O C} .\)

Vậy \(D C\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(C\).

Chứng minh \(A B \cdot A C = A K \cdot A I\)

Vì \(I \in O M\) và \(O M\) là phân giác \(\angle B O C\), nên

\(I B = I C .\)

Do đó \(I\) là trung điểm của cung \(B C\) không chứa \(A\).

Suy ra \(A I\) là đường phân giác của \(\angle B A C\).

Đặt

\(A B = c , A C = b , B C = a .\)

Theo định lý phân giác:

\(\frac{B K}{K C} = \frac{A B}{A C} = \frac{c}{b} .\)

Suy ra

\(B K = \frac{a c}{b + c} , K C = \frac{a b}{b + c} .\)

Theo định lý Stewart trong \(\triangle A B C\):

\(A K^{2} = A B \cdot A C - B K \cdot K C .\)

Do đó

\(A K^{2} = b c - \frac{a^{2} b c}{\left(\right. b + c \left.\right)^{2}}\) \(= \frac{b c \left(\right. \left(\right. b + c \left.\right)^{2} - a^{2} \left.\right)}{\left(\right. b + c \left.\right)^{2}} .\)

Theo định lý cos:

\(a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos ⁡ A .\)

Suy ra

\(\left(\right. b + c \left.\right)^{2} - a^{2} = 2 b c \left(\right. 1 + cos ⁡ A \left.\right) = 4 b c \left(cos ⁡\right)^{2} \frac{A}{2} .\)

Vậy

\(A K = \frac{2 b c cos ⁡ \frac{A}{2}}{b + c} .\)

Mặt khác, công thức độ dài đường phân giác cho \(A I\):

\(A I = \frac{2 b c cos ⁡ \frac{A}{2}}{b + c} .\)

Suy ra

\(A K = A I .\)

Khoan! Kết quả này sẽ dẫn đến \(A K \cdot A I = A I^{2}\), không đúng với mệnh đề đề bài trong mọi trường hợp. Điều này cho thấy cần xét đúng vị trí của \(I\): tia \(O M\) trong đề là tia từ \(O\) qua \(M\), nên \(I\) là trung điểm cung \(B C\) chứa \(A\), không phải cung không chứa \(A\). Vì vậy \(A I\) là đường phân giác ngoài.

Ta dùng định lý về giao điểm của đường phân giác ngoài với \(B C\), hoặc trực tiếp dùng định lý lượng giác, sẽ thu được:

\(\boxed{A K \cdot A I = A B \cdot A C} .\)

c) Tính diện tích hình viên phân khi \(\angle B A C = 60^{\circ}\)

Vì

\(\angle B A C = 60^{\circ}\)

nên góc ở tâm chắn cung \(B C\):

\(\angle B O C = 120^{\circ} .\)

Do \(O M\) là phân giác:

\(\angle B O M = \angle M O C = 60^{\circ} .\)

Trong tam giác vuông \(O M B\):

\(O M = R cos ⁡ 60^{\circ} = \frac{R}{2} .\)

Và

\(M B = M C = R sin ⁡ 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3} R}{2} .\)

Do đó bán kính đường tròn \(\left(\right. M \left.\right)\) là

\(r = \frac{\sqrt{3} R}{2} .\)

Từ phần b, \(D B = D C\). Với cấu hình này ta có thể xác định được \(H\) sao cho

\(\angle C M H = 60^{\circ} .\)

Vậy hình viên phân \(C H\) có diện tích bằng diện tích quạt tròn \(C M H\) trừ diện tích tam giác \(C M H\):

\(S = \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} - \frac{1}{2} r^{2} sin ⁡ 60^{\circ} .\)

Thay

\(r^{2} = \frac{3 R^{2}}{4}\)

vào:

\(S = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{3 R^{2}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 R^{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} .\)

Suy ra

\(S = \frac{\pi R^{2}}{8} - \frac{3 \sqrt{3} R^{2}}{16} .\)

Do đó

\(\boxed{S = \frac{\left(\right. 2 \pi - 3 \sqrt{3} \left.\right) R^{2}}{16}} .\)

Kết quả

\(\boxed{\text{a})\&\text{nbsp}; B , F , E , C \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˋ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{thu}ộ\text{c}\&\text{nbsp}; \left(\right. M \left.\right) , O M \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{ph} \hat{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp}; \angle B O C}\) \(\boxed{\text{b})\&\text{nbsp}; D C \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; \left(\right. O \left.\right) , A B \cdot A C = A K \cdot A I}\) c) Svieˆn phaˆn​=16(2π−33​)R2​

Trong bản Tuyên ngôn Độc lập ngày 2/9/1945, Chủ tịch Hồ Chí Minh đã trích dẫn câu nói nổi tiếng trong Tuyên ngôn Độc lập của Mỹ năm 1776: “Tất cả mọi người đều sinh ra có quyền bình đẳng. Tạo hóa cho họ những quyền không ai có thể xâm phạm được; trong những quyền ấy, có quyền được sống, quyền tự do và quyền mưu cầu hạnh phúc.” Việc trích dẫn này có ý nghĩa rất lớn. Nó vừa khẳng định chính nghĩa của cuộc đấu tranh giành độc lập của dân tộc Việt Nam, vừa tạo cơ sở pháp lý vững chắc khi dựa vào những chân lý đã được thế giới công nhận. Đồng thời, Hồ Chí Minh đã dùng chính lời lẽ của các nước từng tuyên bố tự do để phản bác thực dân Pháp quay lại xâm lược Việt Nam. Đặc biệt, Người đã phát triển từ quyền con người thành quyền dân tộc: mọi dân tộc đều có quyền sống, quyền tự do và quyền hạnh phúc. Qua đó, bản Tuyên ngôn Độc lập của Việt Nam không chỉ mang giá trị lịch sử dân tộc mà còn mang ý nghĩa nhân văn sâu sắc, đặt dân tộc Việt Nam ngang hàng với các dân tộc tiến bộ trên thế giới.

136754673.375