c) Chứng minh FC>FB

Vì AF là tia phân giác của ∠BAC, theo định lý đường phân giác:

AB⋅FC=AC⋅FB

Mà đề bài cho:

AB<AC

Nếu FC≤FB thì vì AB<AC, ta có:

AB⋅FC<AC⋅FB

Điều này mâu thuẫn với:

AB⋅FC=AC⋅FB

Vậy:

FC>FB​

Đpcm. ✅

c) Chứng minh BM⊥MH

Đặt:

A(0,0),B(b,0),C(0,c)(b,c>0)

Vì AH⊥BC, đường thẳng BC có phương trình:

cx+by=bc

Suy ra chân đường vuông góc từ A xuống BC là:

H(b2+c2bc2​,b2+c2b2c​)

Vì E là trung điểm của AC:

E(0,2c​)

Ta có D=AH∩BE. Tính được:

D(2b2+c2bc2​,2b2+c2b2c​)

Do M là hình chiếu của A trên CD, nên AM⊥CD. Từ đó tính được:

M(b4+3b2c2+c4bc2(b2+c2)​,b4+3b2c2+c4b2c3​)

Bây giờ xét hai vectơ:

BM=M−B​

và

HM=M−H​.

Thay tọa độ B,H,M vào, ta có:

BM⋅HM=0​

Vậy hai vectơ BM và HM vuông góc nhau.

Do đó:

BM⊥MH​

Đpcm. ✅