Do ABCD là hình bình hành nên AD//BC và AD=BC

Do AD=BC nên góc ADB =góc CDB (so le trong)

XÉT tam giác ADH và tam giác CBK ta có

góc AHD=góc CKB =90 độ

AD=BC (chứng minh trên)

góc ADB=góc CBK (do góc ADB =góc CBD)

Do đó tam giác ADH =tam giác CBK (cạnh huyền góc nhọn)

Tứ giác AHCK có AH//CK và AH=CK nên AHCK là hình bình hành

Mà I là giao điểm của HK (giả thiết)

nên I là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành nên hai đườn chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của AH nên I là trung điểm của BD

Hay IB=ID

a)Vì ABCD là hình bình hành nên AD=BC và AD//BC

Mà E là trung điểm của AD nên AE=ED

F là trung điểm của BC nên BF=FC

Suy ra DE=BF

Xét tứ giác EBFD có

DE//BF (do AD//BC)

DE=BF (do ABCD là hình bình hành )

b) Ta có O là trung điểm của BD (do O là giao điểm của 2 đường chéo của hình bình hành)

Do EBFD là hình bình hanhf nên 2 đường chéo BD và EF cắt nahu tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF

Vậy 3 điểm E,O,F thẳng hành

Xét tam giác OAM và tam giác OCN ta có

góc AOM=góc CON (2 góc đối đỉnh)

OA=OC(do O là trung điểm )

góc MAO=góc NCO (2 góc so le trong)

Vậy tam giác OAM=tam giác OCN (cạnh-góc-cạnh)

OM=ON(chứng minh câu a)

Xét tứ giác MNBD ta có

O là trung điểm của BD (vì ABCD là hình bình hành)

O là trung điểm của đường chéo MN (chứng minh trên )

Vậy MBND là hình bình bình hành (điều phải chứng minh)

a)Xét tứ giác AEFD, ta có :

AB//CD (vì ABC là hình bình hành)

do đó AE//DF

Ta có AE=1/2 AB (do e là trung điểm)

DF=1/2CD (do e là trung điểm )

mà AB=CD

Suy ra AE=DF

Nên tứ giác AECF là hình bình hành (do tứ giác có 1 cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành)

b) AECF là hình bình hành (chứng minh trên )

SUY RA EF=AD

Suy ra AF=EC