a) Gọi \(y = a x + b\) là phương trình đường thẳng \(A B\).

Ta có \(\left{\right. & a . \left(\right. - 1 \left.\right) + b = 1 \\ & a . 3 + b = 9\)

\(\left{\right. & a = 2 \\ & b = 3\)

Suy ra phương trình đường thẳng \(A B\) là \(\left(\right. d \left.\right) : y = 2 x + 3\).

Đường thẳng \(A B\) cắt trục \(O y\) tại điểm \(I \left(\right. 0 ; 3 \left.\right)\).

(Học sinh tự vẽ hình)

Diện tích tam giác \(O A B\) là: \(S_{O A B} = S_{O A I} + S_{O B I} = \frac{1}{2} A H . O I + \frac{1}{2} B K . O I\).

Ta có \(A H = 1 ; B K = 3 ; O I = 3\).

Suy ra \(S_{O A B} = 6\) (đvdt).

b) Giả sử \(C \left(\right. c ; c^{2} \left.\right)\) thuộc cung nhỏ \(\left(\right. P \left.\right)\) với \(- 1 < c < 3\). 

Diện tích tam giác \(S_{A B C} = S_{A B B^{'} A^{'}} - S_{A C C^{'} A^{'}} - S_{B C C^{'} B^{'}}\). 

Các tứ giác \(A B B^{'} A^{'} , A A^{'} C^{'} C , C B B^{'} C^{'}\) đều là hình thang vuông nên ta có: 

\(S_{A B C} = \frac{1 + 9}{2} . 4 - \frac{1 + c^{2}}{2} . \left(\right. c + 1 \left.\right) - \frac{9 + c^{2}}{2} . \left(\right. 3 - c \left.\right) = 8 - 2 \left(\right. c - 1 \left.\right)^{2} \leq 8\).

Vậy diện tích tam giác \(A B C\) lớn nhất bằng \(8\) (đvdt) khi \(C \left(\right. 1 ; 1 \left.\right)\).

a) Vẽ đồ thị parabol \(\left(\right. P \left.\right) : y = 2 x^{2} .\)

Bảng giá trị:

Đồ thị:

b) Gọi \(M \left(\right. a ; b \left.\right)\) là điểm cần tìm với \(a \neq 0 ; b \neq 0\).

Vì \(M\) có tung độ gấp hai lần hoành độ nên \(b = 2 a\)

Khi đó \(M \left(\right. a ; 2 a \left.\right)\).

Vì \(M \left(\right. a ; 2 a \left.\right) \in \left(\right. P \left.\right) : y = 2 x^{2}\) nên: \(2 a = 2 a^{2}\)

\(2 a^{2} - 2 a = 0\)

\(a^{2} - a = 0\)

\(a \left(\right. a - 1 \left.\right) = 0\)

\(a = 0\) và \(a = 1\)

Vì \(a \neq 0\) nên ta chọn \(a = 1\).

Vậy \(M \left(\right. 1 ; 2 \left.\right)\).

a) Vẽ parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) và đường thẳng \(d\) trên cùng một hệ trục tọa độ \(O x y\)

Bảng giá trị hàm số \(y = 2 x^{2}\):

Đồ thị hàm số \(y = 2 x^{2}\) là đường cong Parabol đi qua điểm \(O\), nhận \(O y\) làm trục đối xứng, bề lõm hướng lên trên.

Đồ thị hàm số \(y = x + 1\) là đường thẳng đi qua điểm \(\left(\right. 0 ; 1 \left.\right)\) và \(\left(\right. - 1 ; 0 \left.\right)\)

b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) bằng phép tính.

Hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là nghiệm của phương trình

\(2 x^{2} = x + 1\)

\(2 x^{2} - x - 1 = 0\).

Ta có \(a + b + c = 2 - 1 - 1 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x = 1\) và \(x = \frac{c}{a} = - \frac{1}{2}\).

+ Với \(x = 1\) thì \(y = 1 + 1 = 2\)

+ Với \(x = - \frac{1}{2}\) thì \(y = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}\).

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là \(\left(\right. 1 ; 2 \left.\right)\) và \(\left(\right. - \frac{1}{2} ; \frac{1}{2} \left.\right)\).

a) Đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right) :\)

Parabol \(\left(\right. P \left.\right)\):

Vẽ đồ thị:

b) Tìm tọa độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) bằng phép tính.

Hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là nghiệm của phương trình

\(\frac{1}{4} x^{2} = - \frac{1}{2} x + 2\)

\(x^{2} + 2 x - 8 = 0\)

\(\Delta^{'} = 1^{2} - \left(\right. - 8 \left.\right) = 9 > 0\)

Do \(\Delta^{'} > 0\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là \(x = - 4\) và \(x = 2\)

+ Với \(x = - 4\) thì \(y = 4\)

+ Với \(x = 2\) thì \(y = 1\).

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là \(\left(\right. - 4 ; 4 \left.\right)\) và \(\left(\right. 2 ; 1 \left.\right)\).

sđ\(_{\text{l}ớ\text{n}} +\)sđ\(_{\text{nh}ỏ} = 36 0^{\circ}\),

sđ\(_{\text{l}ớ\text{n}} = 2\)sđ\(_{\text{nh}ỏ}\) nên:

sđ\(_{\text{nh}ỏ} = 12 0^{\circ}\).

Suy ra \(\hat{A O B} = 12 0^{\circ}\).

Vẽ \(O H ⊥ A B\), ta có \(\hat{A O H} = \hat{H O B} = 6 0^{\circ}\) và \(A H = H B = \frac{1}{2} A B\).

Tam giác \(A O H\) có \(\hat{A H O} = 9 0^{\circ}\), \(\hat{A O H} = 6 0^{\circ}\) nên

\(O H = \frac{1}{2} A O = \frac{1}{2} R\)

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

\(A H^{2} = A O^{2} - O H^{2} = \frac{3 R^{2}}{4}\)

Suy ra \(A H = \frac{R \sqrt{3}}{2}\).

Vậy \(A B = 2 A H = R \sqrt{3}\).

Kẻ \(O H\) vuông góc với \(A B\) tại \(H\).

Khi đó \(H\) là trung điểm của \(A B\) hay \(A H = \frac{A B}{2} = \frac{3}{2}\).

Vì cung nhỏ \(= 10 0^{\circ}\) nên \(\hat{A O B} = 10 0^{\circ}\)

Hay \(\hat{A O H} = 5 0^{\circ}\).

Ta có \(A O = \frac{A H}{sin ⁡ \hat{A O H}} = \frac{3}{2 sin ⁡ 5 0^{\circ}} = 2\) cm.

Tứ giác \(A B C D\) có \(\hat{B} = \hat{D} = 9 0^{\circ}\) nên \(O A = O B = O C = O D\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Suy ra bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) cùng nằm trên một đường tròn tâm \(O\), đường kính \(A C\).

\(A C\) là đường kính, \(B D\) là dây không đi qua điểm \(O\).

Suy ra \(A C > B D\).