Ta đặt hệ trục tọa độ:

• \(O \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\).
• \(A \left(\right. R , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } B \left(\right. - R , 0 \left.\right)\).
• \(C \left(\right. 0 , R \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } D \left(\right. 0 , - R \left.\right)\).

Do

\(A I = \frac{2}{3} A O = \frac{2 R}{3} ,\)

nên

\(O I = A O - A I = R - \frac{2 R}{3} = \frac{R}{3} .\)

Suy ra

\(I \left(\right. \frac{R}{3} , 0 \left.\right) .\)

Bước 1. Phương trình đường thẳng \(C I\)

Đường thẳng qua

\(C \left(\right. 0 , R \left.\right) , I \left(\right. \frac{R}{3} , 0 \left.\right)\)

có hệ số góc

\(k = \frac{0 - R}{\frac{R}{3} - 0} = - 3.\)

Phương trình:

\(y = R - 3 x .\)

Bước 2. Tìm điểm \(E\)

Đường tròn:

\(x^{2} + y^{2} = R^{2} .\)

Thay \(y = R - 3 x\):

\(x^{2} + \left(\right. R - 3 x \left.\right)^{2} = R^{2}\) \(10 x^{2} - 6 R x = 0\) \(2 x \left(\right. 5 x - 3 R \left.\right) = 0.\)

Ngoài nghiệm \(x = 0\) (điểm \(C\)), ta được

\(x = \frac{3 R}{5} .\)

Khi đó

\(y = R - 3 \cdot \frac{3 R}{5} = - \frac{4 R}{5} .\)

Vậy

\(E \left(\right. \frac{3 R}{5} , - \frac{4 R}{5} \left.\right) .\)

Bước 3. Tính \(C E\)

\(C E^{2} & = \left(\left(\right. \frac{3 R}{5} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. - \frac{4 R}{5} - R \left.\right)\right)^{2} \\ & = \frac{9 R^{2}}{25} + \frac{81 R^{2}}{25} \\ & = \frac{90 R^{2}}{25} = \frac{18 R^{2}}{5} .\)

Do đó

\(C E = R \sqrt{\frac{18}{5}} = \frac{3 \sqrt{10}}{5} R .\)

Suy ra

\(\boxed{R = \frac{\sqrt{10}}{6} \textrm{ } C E .}\)

Ta có tính chất hai tiếp tuyến cắt từ một điểm đến một đường tròn:

\(B E = B D , C F = C D , A E = A F .\)

Đặt:

\(A E = A F = x .\)

Suy ra:

\(A B & = A E + E B = x + B D , \\ A C & = A F + F C = x + C D , \\ B C & = B D + D C .\)

a) Chứng minh \(B D = \frac{B C + A B - A C}{2}\)

Ta có:

\(A B - A C = \left(\right. x + B D \left.\right) - \left(\right. x + C D \left.\right) = B D - C D .\)

Lại có:

\(B C = B D + C D .\)

Cộng hai đẳng thức:

\(B C + A B - A C = \left(\right. B D + C D \left.\right) + \left(\right. B D - C D \left.\right) = 2 B D .\)

Suy ra:

\(\boxed{B D = \frac{B C + A B - A C}{2} .}\)

b) Chứng minh \(S_{A B C} = B D \cdot D C\)

Vì tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\):

\(S_{A B C} = \frac{1}{2} A B \cdot A C .\)

Từ câu a và tương tự:

\(B D & = \frac{B C + A B - A C}{2} , \\ D C & = \frac{B C + A C - A B}{2} .\)

Khi đó:

\(B D \cdot D C & = \frac{\left(\right. B C + A B - A C \left.\right) \left(\right. B C + A C - A B \left.\right)}{4} \\ & = \frac{B C^{2} - \left(\right. A B - A C \left.\right)^{2}}{4} .\)

Theo định lý Pitago:

\(B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} .\)

Nên:

\(B C^{2} - \left(\right. A B - A C \left.\right)^{2} & = A B^{2} + A C^{2} - \left(\right. A B^{2} - 2 A B \cdot A C + A C^{2} \left.\right) \\ & = 2 A B \cdot A C .\)

Do đó:

\(B D \cdot D C = \frac{2 A B \cdot A C}{4} = \frac{1}{2} A B \cdot A C = S_{A B C} .\)

Vậy

\(\boxed{S_{A B C} = B D \cdot D C .}\)

Kết luận:

• a) \(B D = \frac{B C + A B - A C}{2}\).
• b) \(S_{A B C} = B D \cdot D C .\)

Ta đặt hệ trục tọa độ:

• \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
• \(B \left(\right. 9 , 0 \left.\right)\)
• \(C \left(\right. 0 , 12 \left.\right)\)

Bước 1. Tìm tọa độ \(I\)

Tam giác vuông có:

\(B C = \sqrt{9^{2} + 12^{2}} = 15.\)

Bán kính đường tròn nội tiếp:

\(r = \frac{9 + 12 - 15}{2} = 3.\)

Vì vuông tại \(A\), nên tâm nội tiếp là:

\(I \left(\right. 3 , 3 \left.\right) .\)

Bước 2. Tìm tọa độ trọng tâm \(G\)

\(G \left(\right. \frac{0 + 9 + 0}{3} , \frac{0 + 0 + 12}{3} \left.\right) = \left(\right. 3 , 4 \left.\right) .\)

Bước 3. Tính \(I G\)

\(I G = \sqrt{\left(\right. 3 - 3 \left.\right)^{2} + \left(\right. 4 - 3 \left.\right)^{2}} = \sqrt{1} = 1.\)

Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\):

• \(A B = 6\)
• \(A C = 8\)

Tính cạnh huyền:

\(B C = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10.\)

Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác vuông:

\(r = \frac{A B + A C - B C}{2} = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2.\)

• $HB \approx 2,13\text{ cm}$
• $HC \approx 4,60\text{ cm}$
• $AH = 4\text{ cm}$ (theo đề bài)
• $AC \approx 6,10\text{ cm}$
• (Nếu tính thêm $AB \approx 4,53\text{ cm}$)

Các yếu tố còn lại của tam giác $ABC$ là:

• Cạnh: $AC \approx 3,97$
• Các góc: $\widehat{C} \approx 41^\circ$ và $\widehat{A} \approx 79^\circ$