\(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{a^2-ac+c^2}\)

\(=\sum_{cyc}^{a,b,c}\sqrt{a^2-ab+b^2}\)

\(=\sum_{cyc}^{a,b,c}\sqrt{\left(\frac{3a^2}{4}+\frac{3b^2}{4}-\frac{3ab}{2}\right)+\left(\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{ab}{2}\right)}\)

\(=\sum_{cyc}^{a,b,c}\sqrt{\frac34\left(a-b\right)^2+\frac14\left(a+b\right)^2}\)

\(\ge\sum_{cyc}^{a,b,c}\sqrt{\frac14\left(a+b\right)^2}\)

\(=\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{a+b}{2}\)

\(=\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{a+c}{2}\)

\(=a+b+c\)

\(=3\) ( đpcm ).

( Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\) )

+, Ta có:

\(x\left(x-y\right)\left(x-z\right)+y\left(y-x\right)\left(y-z\right)+z\left(z-x\right)\left(z-y\right)\)

\(=x\left(x-y\right)\left(x-z\right)-y\left(y-x\right)\left(z-y\right)+z\left(z-x\right)\left(z-y\right)\)

\(=x\left(x-y\right)\left(x-z\right)+\left(z-y\right)\left\lbrack z\left(z-x\right)-y\left(y-x\right)\right\rbrack\)

\(=x\left(x-y\right)\left(x-z\right)+\left(z-y\right)\left(z^2-y^2-xz+xy\right)\)

\(=x\left(x-y\right)\left(x-z\right)+\left(z-y\right)\left\lbrack\left(z-y\right)\left(y+z\right)-x\left(z-y\right)\right\rbrack\)

\(=x\left(y-x\right)\left(z-x\right)+\left(z-y\right)^2\left(y+z-x\right)\)

+, Do \(z\ge y\ge x\ge0\) nên \(\begin{cases}x\ge0\\ y-x\ge0\\ z-x\ge0\\ y+z-x\ge0\end{cases}\) thì \(\begin{cases}x\left(y-x\right)\left(z-x\right)\ge0\\ \left(z-y\right)^2\left(y+z-x\right)\ge0\end{cases}\)

( do \(\left(z-y^{}\right)^2\ge0\) \(\forall y,z\) )

hay \(x\left(y-x\right)\left(z-x\right)+\left(y+z-x\right)\left(z-y\right)^2\ge0\)

cho nên \(x\left(x-y\right)\left(x-z\right)+y\left(y-x\right)\left(y-z\right)+z\left(z-x\right)\left(z-y\right)\ge0\) ( đpcm ).

( Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) ).

\(2\left(\frac23\right)^2.2x^2.10^2+\frac14.45^1:4\)

= \(\frac49.4.100x^2+\frac{45}{16}\)

=\(\frac{1600x^2}{9}+\frac{45}{16}\)

\(\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5\) ❏

△CAH ∼ △CBA ( g.g ) nên CH / AC = AH / AB ( cặp cạnh tương ứng tỉ lệ ) thì AC / AB = CH / AH.

△ABE vuông tại A có D là trung điểm BE nên AD là tia phân giác góc BAE ( tính chất ) thì AG là tia phân giác góc BAC hay CG / BG = AC / AB ( tính chất ) mà AC / AB = CH / AH ( cmt ) nên CG / BG = CH / AH thì ( CG / BG ) + 1 = ( CH / AH ) + 1 = BC / BG = ( AH + CH ) / AH mà AH = HI nên BC / BG = ( HI + CH ) / AH thì BG / BC = AH / ( HI + CH ) ❏

Đặt các điểm như hình.

EF // AB // CD nên EF / AB = CF / BC và EF / CD = BF / BC ( Định lí Thales )

mà ( CF / BC ) + ( BF / BC ) = BC / BC = 1 nên ( EF / AB ) + ( EF / CD ) = ( EF / 3 ) + ( EF / 2 ) = 1 thì EF = 6 / 5 ( m )