oh ye what a scary warning

Gọi phân số đã cho là \(\frac{a}{55-a}\) và số tự nhiên cần tìm là \(b\)

( \(25\le a<55;b\ne a-55\) )

Lấy tử số trừ đi số tự nhiên \(c\) và cộng mẫu số với số tự nhiên c thì được phân số mới là \(\frac56\) và tổng tử và mẫu là không thay đổi

nên \(\begin{cases}\frac{a-b}{55-a+b}=\frac56=\frac{5c}{6c}\\ \left(a-b\right)+\left(55-a+b\right)=5c+6c=11c=55\end{cases}\)

( \(c\ne0\) )

thì \(c=55:11=5\) ( t/m ) hay \(\begin{cases}a-b=5c=25\\ 55-a+b=6d=30\end{cases}\)

cho nên \(a-b=25\) do đó \(b=a-25\)

Vậy số tự nhiên cần tìm là bằng giá trị của phép tính: tử số trừ 25.

( Nếu tử số của phân số đã cho bé hơn 25 thì số cần tìm không là số tự nhiên )

\(50:2\)

\(=\left(25+25\right):2\)

\(\) \(=\left(25\times2\right):2\)

\(=25\times2:2\)

\(=25\)

\(1467:6\)

\(=\left(489\times3\right):\left(2\times3\right)\)

\(=489\times3:2:3\)

\(=489:2\)

\(=\left(488+1\right):2\)

\(=488:2+1:2\)

\(=244+0,5\)

\(=244,5\)

+, Nếu \(x<1\) thì:

\(x^8-x^7+x^2-x+1\)

\(=x^8+x^2\left(1-x^5\right)+\left(1-x\right)\)

\(>0\)

+, Nếu \(x\ge1\) thì:

\(x^8-x^7+x^2-x+1\)

\(=x^7\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)+1\)

\(>0\)

+, Do đó \(x^8-x^7+x^2-x+1>0\forall x\) ( đpcm )

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\)

\(=\frac12\left(\frac{2a^2}{b^2}+\frac{2b^2}{c^2}+\frac{2c^2}{a^2}\right)\)

\(=\frac12\left\lbrack\left(\frac{a^2}{b^2}-\frac{2a}{c}+\frac{b^2}{c^2}\right)+\left(\frac{b^2}{c^2}-\frac{2b}{a}+\frac{c^2}{a^2}\right)+\left(\frac{c^2}{a^2}-\frac{2c}{b}+\frac{a^2}{b^2}\right)+2\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\right\rbrack\)

\(=\frac12\left\lbrack\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}-\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{a}-\frac{a}{b}\right)^2\right\rbrack+\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\)

\(\ge\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\) ( đpcm )

( Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) )

+, Do \(\begin{cases}x>\sqrt2\\ y>\sqrt2\end{cases}\) nên \(\begin{cases}x^2>2\\ y^2>2\end{cases}\) thì \(\begin{cases}x^5>2x^3\\ y^5>2y^3\end{cases}\) hay \(x^5+y^5>2\left(x^3+y^3\right)\)

+, \(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\)

\(=\frac{\left(x+y\right)\left(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\right)}{x+y}\)

\(=\frac{x^5+y^5}{x+y}\)

\(>\frac{2\left(x^3+y^3\right)}{x+y}\)

\(=\frac{2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{x+y}\)

\(=\frac{2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)-2xy\left(x+y\right)}{x+y}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)-2xy\left(x+y\right)}{x+y}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+\left(x+y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)}{x+y}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)\left\lbrack\left(x^2+y^2\right)+\left(x-y\right)^2\right\rbrack}{x+y}\)

\(=x^2+y^2+\left(x-y\right)^2\)

\(\ge x^2+y^2\) ( đpcm )

( Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\) )

+, Do \(x+y=1\) nên \(\left(x+y\right)^2=x+y=1\)

+, \(\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\)

\(=\frac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}{xy}-9+9\)

\(=\frac{xy+x+y+1-9xy}{xy}+9\)

\(=\frac{2-8xy}{xy}+9\)

\(=\frac{2\left(1-4xy\right)}{xy}+9\)

\(=\frac{2\left\lbrack\left(x+y\right)^2-4xy\right\rbrack}{xy}+9\)

\(=\frac{2\left(x-y\right)^2}{xy}+9\)

\(\ge9\) ( đpcm )

( Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac12\) )

\(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)+1\)

\(=\left(x^2-5x+4\right)\left(x^2-5x+6\right)+1\)

\(=\left(x^2-5x\right)^2+10\left(x^2-5x\right)+25\)

\(=\left(x^2-5x+5\right)^2\)

\(=\left\lbrack\left(x^2-5x+\frac{25}{4}\right)-\frac54\right\rbrack^2\)

\(=\left\lbrack\left(x-\frac52\right)^2-\left(\frac{\sqrt5}{2}\right)^2\right\rbrack^2\)

\(=\left(x-\frac52+\frac{\sqrt5}{2}\right)^2\left(x-\frac52-\frac{\sqrt5}{2}\right)^2\)

\(\ge0\) ( đpcm )

( Dấu "=" xảy ra khi \(x\in\left\lbrace\frac{5-\sqrt5}{2};\frac{5+\sqrt5}{2}\right\rbrace\) )

\(4x^8-2x^7+x^6-3x^4+x^2-x+1\)

\(=\left(x^8-2x^7+x^6\right)+\left(3x^8-3x^4+\frac34\right)+\left(x^2-x+\frac14\right)\)

\(=x^6\left(x-1\right)^2+3\left(x^4-\frac12\right)^2+\left(x-\frac12\right)^2\)

\(>0\) ( đpcm )