a) ABCDABCD là hình bình hành nên AB=DCAB=DC suy ra 12AB=12DC21​AB=21​DC

Do đó AM=BM=DN=CNAM=BM=DN=CN.

Tứ giác AMCNAMCN có AMAM // NC,AM=NCNC,AM=NC nên là hình bình hành.

Lại có ΔADCΔADC vuông tại AA có ANAN là đường trung tuyến nên AN=12DC=DN=CNAN=21​DC=DN=CN.

Hình bình hành AMCNAMCN có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo AC,MNAC,MN vuông góc với nhau.

Tứ giác AMCNAMCN là hình thoi.

a) ABCDABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC,BDAC,BD cắt nhau tại OO là trung điểm của mỗi đường.

Xét ΔOBMΔOBM và ΔODPΔODP có:

     OB=ODOB=OD ( giả thiết)

     OBM^=ODP^OBM=ODP (so le trong)

     BOM^=DOP^BOM=DOP (đối đỉnh)

Vậy ΔOBM=ΔODPΔOBM=ΔODP (g.c.g)

Suy ra OM=OPOM=OP (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ΔOAQ=ΔOCNΔOAQ=ΔOCN (g.c.g) suy ra OQ=ONOQ=ON (hai cạnh tương ứng)

MNPQMNPQ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Hình bình hành MNPQMNPQ có hai đường chéo MP⊥NQMP⊥NQ nên là hình thoi.

a) ABCDABCD là hình bình hành nên AB=DCAB=DC suy ra 12AB=12DC21​AB=21​DC

Do đó AM=BM=DN=CNAM=BM=DN=CN.

Tứ giác AMCNAMCN có AMAM // NC,AM=NCNC,AM=NC nên là hình bình hành.

Lại có ΔADCΔADC vuông tại AA có ANAN là đường trung tuyến nên AN=12DC=DN=CNAN=21​DC=DN=CN.

Hình bình hành AMCNAMCN có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo AC,MNAC,MN vuông góc với nhau.

Tứ giác AMCNAMCN là hình thoi.

a) ABCDABCD là hình bình hành nên AB=DCAB=DC suy ra 12AB=12DC21​AB=21​DC

Do đó AM=BM=DN=CNAM=BM=DN=CN.

Tứ giác AMCNAMCN có AMAM // NC,AM=NCNC,AM=NC nên là hình bình hành.

Lại có ΔADCΔADC vuông tại AA có ANAN là đường trung tuyến nên AN=12DC=DN=CNAN=21​DC=DN=CN.

Hình bình hành AMCNAMCN có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo AC,MNAC,MN vuông góc với nhau.

Tứ giác AMCNAMCN là hình thoi.

a) ABCDABCD là hình bình hành nên AB=DCAB=DC suy ra 12AB=12DC21​AB=21​DC

Do đó AM=BM=DN=CNAM=BM=DN=CN.

Tứ giác AMCNAMCN có AMAM // NC,AM=NCNC,AM=NC nên là hình bình hành.

Lại có ΔADCΔADC vuông tại AA có ANAN là đường trung tuyến nên AN=12DC=DN=CNAN=21​DC=DN=CN.

Hình bình hành AMCNAMCN có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi, khi đó hai đường chéo AC,MNAC,MN vuông góc với nhau.

Tứ giác AMCNAMCN là hình thoi.

câu 1:

Ta có IA=ICIA=IC và IH=IDIH=ID.

Suy  ra AHCDAHCD là hình bình hành do có hai đường chéo ACAC và DHDH cắt nhau tại trung điểm II.

Mà AHC^=90∘AHC=90∘ suy ra AHCDAHCD là hình chữ nhật.

câu 2:

Ta có IA=ICIA=IC và IH=IDIH=ID.

Suy  ra AHCDAHCD là hình bình hành do có hai đường chéo ACAC và DHDH cắt nhau tại trung điểm II.

Mà AHC^=90∘AHC=90∘ suy ra AHCDAHCD là hình chữ nhật.

câu 3:

a) Ta có: Ax⊥ACAx⊥AC và ByBy // ACAC

Suy ra Ax⊥ByAx⊥By ⇒AMB^=90∘⇒AMB=90∘.

Xét ΔMAQΔMAQ và ΔQBMΔQBM có

MQA^=BMQ^MQA​=BMQ​ (so le trong);

MQMQ là cạnh chung;

AMQ^=BQM^AMQ​=BQM​ (AxAx // QBQB).

Suy ra ΔMAQ= ΔQBMΔMAQ= ΔQBM (g-c-g)

Suy ra MBQ^=MAQ^=90∘MBQ​=MAQ​=90∘ (2 góc tương ứng)

Xét tứ giác AMBQAMBQ có: QAM^=AMB^=MBQ^=90∘QAM​=AMB=MBQ​=90∘

Suy ra tứ giác AMBQAMBQ là hình chữ nhật.

b) Do tứ giác AMBQAMBQ là hình chữ nhật.

Mà PP là trung điểm ABne^nne^nPQ=\dfrac{1}{2}AB$ (1)

Xét ΔAIBΔAIB vuông tại II và có IPIP là đường trung tuyến.

Suy ra IP=12ABIP=21​AB (2)

Từ (1) và (2) ⇒QP=IP⇒ΔPQI⇒QP=IP⇒ΔPQI cân tại PP.