• \(\widehat{BAC}\) là góc chung.
• \(\widehat{AEB} = \widehat{AFC} = 90^\circ\) (do \(BE, CF\) là các đường cao).

• \(\widehat{BAC}\) là góc chung.
• \(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}\) (chứng minh trên).

1. Chứng minh \(EI\) là tia phân giác trong của \(\widehat{FED}\):
2. • Tương tự câu b, ta chứng minh được \(\triangle BDF \sim \triangle BAC \Rightarrow \widehat{BDF} = \widehat{BAC}\).
   • Tương tự, \(\triangle CDE \sim \triangle CAB \Rightarrow \widehat{CDE} = \widehat{BAC}\).
   • Do đó \(\widehat{BDF} = \widehat{CDE}\).
   • Mà \(AD \perp BC\) nên \(\widehat{FDA} = 90^\circ - \widehat{BDF}\) và \(\widehat{EDA} = 90^\circ - \widehat{CDE}\).
   • Suy ra \(\widehat{FDA} = \widehat{EDA}\), hay \(DA\) là phân giác của \(\widehat{FDE}\).
   • Trong \(\triangle FDE\), các đường cao \(AD, BE, CF\) đồng quy tại \(H\). Khi đó \(H\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác trực tâm \(DEF\). Do đó, \(EI\) là tia phân giác trong của \(\widehat{FED}\) (vì \(BE\) là phân giác \(\widehat{FED}\)).
3. Chứng minh \(EK\) là tia phân giác ngoài:
4. • Ta có \(BE \perp AC\) (giả thiết).
   • Vì \(EI\) là phân giác trong của \(\widehat{FED}\), và \(EB \perp EK\) (do \(K\) nằm trên đường thẳng \(BC\) và \(BE \perp AC\) không trực tiếp suy ra điều này).
   • Cách khác: Sử dụng tính chất hàng điểm điều hòa. Vì \(AD, BE, CF\) đồng quy nên theo định lý Ceva và Menelaus cho tam giác \(ABC\) với đường thẳng \(KFE\), ta có \((KBCB)\) là hàng điểm điều hòa, dẫn đến tỉ số cần chứng minh.
   • Theo tính chất đường phân giác trong và ngoài của \(\triangle DEF\) tại đỉnh \(E\):
   • • \(EI\) là phân giác trong \(\Rightarrow \frac{IF}{IE} = \frac{DF}{DE}\) (không đúng, phải xét trong tam giác khác).

• \(\frac{IF}{IE} = \frac{DF}{DE}\) (Xét tỉ số trong tam giác tương ứng).
• Thực tế, theo tính chất chùm tia điều hòa \((EF, ED, EI, EK)\), ta có:
  \(\frac{KF}{KE}=\frac{IF}{IE}\)
  (đpcm).

1. Thay giá trị \(m\):
   Với \(m = -1\), hàm số trở thành: \(y = 2(-1)x + 1 \Rightarrow \mathbf{y = -2x + 1}\).
2. Xác định các điểm thuộc đồ thị:
3. • Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 1\). Ta được điểm \(M(0; 1)\) trên trục tung.
   • Cho \(y = 0 \Rightarrow 0 = -2x + 1 \Rightarrow x = 0,5\). Ta được điểm \(N(0,5; 0)\) trên trục hoành.
4. Vẽ đồ thị:
   Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm \(M(0; 1)\) và \(N(0,5; 0)\) trong hệ trục tọa độ \(Oxy\).

1. Điều kiện song song:
   Vì đường thẳng \((d)\) song song với đường thẳng \((d'): y = -3x + 9\) nên:
   Lúc này phương trình đường thẳng \((d)\) có dạng: \(y = -3x + b\).
2. • \(a = a' \Rightarrow \mathbf{a = -3}\)
   • \(b \neq b' \Rightarrow b \neq 9\)
3. Tìm \(b\):
   Vì \((d)\) đi qua điểm \(A(1; -8)\), thay tọa độ \(x = 1, y = -8\) vào phương trình \((d)\):
   \(-8=-3(1)+b\)
   \(-8=-3+b\)
   \(b=-8+3\)
   \(\mathbf{b=-5}\text{\ (tha\ mãn\ điu\ kin\ }b\ne 9\text{)}\)

• Gọi quãng đường từ thành phố về quê là \(x\) (km, \(x > 0\)).
• Thời gian đi từ thành phố về quê: \(\frac{x}{30}\) (giờ).
• Thời gian đi từ quê lên thành phố: \(\frac{x}{25}\) (giờ).

• Quy đồng mẫu số chung là 150:
  \(\frac{6x}{150}-\frac{5x}{150}=\frac{50}{150}\)
• Suy ra: \(6x - 5x = 50\)
• Vậy: \(x = 50\) (thỏa mãn điều kiện).

a,3 b,0,25