Bff

Xss

Xds

Jgff

A) vì tam giác ABC cân tại a lên AB = AC và góc ABC bằng góc ACB

Vì BD và CE là hai đường trung tuyến lên D là trung điểm của AC, E là trung điểm của AB

-> AD = DC = 1/2 AC và AE = EB = 1/2 AB

Mà AB = AC -> AD = AE = DC = EB

Xét tam giác ABD và tam giác ACE có

AB = AC (giả thiết)

Góc A chung

AD = AE (chứng minh trên)

-> tam giác ABD = tam giác ACE(c.g.c)

Vậy BD bằng CE (hai cạnh tương ứng)

B) từ tam giác ABC bằng tam giác ACE (câu a) ta suy ra góc ABD bằng góc ACE(hai góc tương ứng)

Ta có

Góc GBC= góc ABC - góc ABD

Góc GCB= góc ACB- góc ACE

Mà góc ABC = góc ABC và góc ABD=góc ACE nên góc GBC=góc GCB

Vậy tam giác GBC cân tại G

C) trong tam giác GBC theo bất đẳng thức tam giác ta có GB + GC >BC

Vì G là trọng tâm (giao của hai đường trung tuyến BD và CE) nên theo tính chất trọng tâm :

GD= 1/3 BD -> BD = 3 GD mà BD = BG + GD-> BG = 2 GD

GE bằng 1/3 CE ->CE = 3 GE. Mà CE =CG + GE-> CG = 2 GE

Thay vào bất đẳng thức GB + GC > BC, ta được: 2 GD+ 2 GE>BC

Chia cả hai vế cho hai

GD + GE> 1/2 BC

Trong tam giác ABC hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại trọng tâm G

Theo tính chất trọng tâm ta có:

BG = 2/3 BM, CG = 2/3 CN

Xét tam giác GBC theo bất đẳng thức tam giác ta có:

BG + CG > BC

Từ các biểu thức trên ,ta cộng vế theo vế

BM + CN = 3/2 BG+ 3/2 CG= 3/2 (BG + CG)

Vì BG + CG >BC nên 3/2 (BG + CG)>3/2 BC

Vậy BM + CN> 3/2 BC