Ta có f(x) =ax\(^2\) +bx + c ⋮ 2009 ∀ x ∈ Z

Thay x = 0, ta có:

f(0) = a . 0\(^2\) + b . 0 + c

f(0) = c

Vì f(0) ⋮ 2009 nên suy ra c ⋮ 2009

Thay x = 1, ta có:

f(1) = a . 1\(^2\) + b . 1 + c

f(1) = a + b + c

Vì f(1) ⋮ 2009 và c ⋮ 2009 nên suy ra (a + b) ⋮ 2009

Thay x = -1, ta có:

f(-1) = a . (-1)\(^2\) + b . (-1) + c

f(-1) = a - b + c

Vì f(-1) ⋮ 2009 và c ⋮ 2009 nên suy ra (a - b) ⋮ 2009

Do (a + b) ⋮ 2009 và (a - b) ⋮ 2009

Suy ra (a + b) + (a - b)

Mà số 2 và số 2009 là hai số nguyên tố cùng nhau

Do đó, ta suy ra a ⋮ 2009

Vì vậy, hiệu hai bình phương cũng phải chia hết cho 2009

(a + b) - (a - b) ⋮ 2009

\(\Leftrightarrow\) 2b ⋮ 2009

Do số 2 và số 2009 là hai số nguyên tố cùng nhau

Vậy ta suy ra được b ⋮ 2009

Do đó, ba hệ số a, b, c ⋮ 2009

Vậy nếu giá trị của đa thức f(x) = ax\(^2\) + bx + c ⋮ 2009 ∀ x ∈ Z thì các hệ số a, b, c ⋮ 2009.

Gọi hai số nguyên liên tiếp cần tìm là n và n + 1 (n∈Z).

Hiệu hai bình phương của hai số liên tiếp:

A = (n + 1)\(^2\) - n\(^2\)

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta có:

A = (n + 1)\(^2\) - n\(^2\)

A = (n + 1 - n)(n + 1 + n)

A = 1(2n + 1)

A = 2n + 1.

Vì n∈Z nên 2n là số chẵn, suy ra 2n + 1 là một số lẻ.

Do đó, hiệu hai bình phương của hai số nguyên liên tiếp luôn là một số lẻ.

TH1: Hiệu hai bình phương của hai só bằng 2004.

2n + 1 = 2004

2n = 2004 - 1

2n = 2003

n = 2003 : 2

n = 1001,5 (loại)

TH2: Hiệu hai bình phương của hai số bằng 2005.

2n + 1 = 2005

2n = 2005 - 1

2n = 2004

n = 2004 : 2

n = 1002 (TMĐK)

Do đó, số nguyên tiếp theo là:

n + 1 = 1002

n = 1002 + 1

n = 1003

=> Tình cảm lưu luyến của người chinh phụ khu phải xa cách người chinh phu,

`a)` Vì `ABCD` là hình vuông có `O` là giao điểm của hai đường chéo `AC` và `BD`.

`=> OA = OB = OC = OD` và `AC⊥BD` tại `O => ^BOC = 90°`

Mà ta có ahi đường chéo

`=> ^OBA = ^OCB (= 45°)`

`=> ^OBM = ^OCN (= 45°)

Xét `∆OMB` và `∆ONC`, ta có:

`OB = OC` (cmt)

`^OBM = ^OCN (= 45°)` (cmt)

`BM = CN` (gt)

`=> ∆OMB~∆ONC` `(c.g.c)`

`=> OM = ON` (hai cạnh tương ứng)

`=> ∆MON` cân tại `O`. `(1)`

`=> ^BOM = ^CON` (hai góc tương ứng)

Ta lại có:

`^MON = ^MOB + ^BON`

Thay `^MOB = ^CON`, ta có:

`^MON = ^CON + ^BON = ^BOC`

Mà `^BOC = 90°`

`=> MON = 90°` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra `∆MON` vuông cân tại `O`

`b)` Xét `∆ABM` và `∆BCN`,ta có:

`AB = BC` (hai cạnh hình vuông)

`^BAM = ^CBN (= 90°)`

`BM = CN` (gt)

`=> ∆ABM~∆BCN` `(c.g.c)`

`=> ^BAM = ^CBN` (hai góc tương ứng)

Gọi I là giao điểm của `AN` và `BM`

Xét tam giác vuông `ABM` vuông tại `A`, ta có:

`^BAM = ^AMB (= 90°)`

Mà `^BAM = ^CBN`

`=> ^CBN + ^AMB (= 90°)`

Xét `∆BIM`, có:

`^BIM = 180° - (^CBN + ^AMB)`

`^BIM = 180° - 90°`

`^BIM = 90°`

`=> AN⊥BM` hay `AE⊥BM`

Vì `ABCD` là hình vuông nên `AB // CD`

Mà `E` là giao điểm của `AN` và `DC`

`=> AB // CE`

Xét `∆EAN` có `AB // CE`

Áp dụng hệ quả định luật ta-lét, ta có:

`EC/AB = CN/NB`

Do `AB = BC` (cạnh hình vuông) và `CN = BM` (gt), ta thay vào được:

`EC/BC = CN/BN` `(1)`

Xét `∆BCE` vuông tại `C` và `∆MBN` vuông tại `B`, ta có:

`^BCE = ^MBN (= 90°)`

`EC/BC = CN/BN`

`=> ∆BCE~∆MBN` `(c.g.c)`

`=> ^BEC = ^MNB` (hai góc tương ứng)

Gọi `K` là giao điểm của đường thẳng `CF` và `BE`

Xét `∆BCE` vuông tại `C`, có:

`^BEC + ^EBC (= 90°)` (theo tính chất góc phụ nhau)

Mà `^BEC = ^MNB`

`=> ^MNB + ^EBC (= 90°)`

Xét `∆BKC`, có:

`^KBC + ^KCB (= 90°)`

`=> ^BKC = 180° - (KBC + ^KCB)`

`=> ^BKC = 180° - 90°`

`=> ^BKC = 90°`

`=> CK⊥BK` hay `CF⊥BE` (đpcm)

`c)` Ta có chu vi tứ giác `OMBN`

`=> OMBN = OM + MB + BN + ON`

Mà ta có `OM = ON` (cmt)

Vì `N∈BC`

`=> BN = BC - CN`

Mà `CN = BM` (gt)

`=> BN = BC - BM`

`=> BM + BN = BC`

`=> OMBN = (OM + ON) + (BM + BN)`

`=> OMBN = 20M + BC`

Do hình vuông `ABCD` cố định nên cạnh `BC` luôn cố định

`=>` Để chu vi nhỏ nhất thì OM phải nhỏ nhất.

Kẻ `OH⊥AB` tại `H`

Xét `∆OHM` vuông tại `H`

Áp dụng quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên, ta có:

`OM ≥ OH

Do đó, `OM(min) = OH`

Dấu `"="` xảy ra khi `M` trùng với `H`

`=>` Để chu vi `OMBN` đạt giá trị nhỏ nhất thì điểm `M` là trung điểm của `BC`

Khái niệm: Phép trừ thực chất là phép cộng với số đối.

Ví dụ: Ta có biểu thức `5x - 3y` có thể viết lại thành `5x + (-3y)`

Do đó, dấu trừ ở đây là phép cộng đơn thức âm

`=>` Biểu thức chứa phép trừ vẫn là tổng của các đơn thức.

Cho bài toán ví dụ nhưng nâng cao (khó ấy):

Cho `∆ABC` có hai đường trung tuyến `BM` và `CN` cắt nhau tại trọng tâm `G`. Gọi `P` và `Q` lần lượt là trung điểm của `GB` và `GC`

`a)` `∆GMN = ∆GPQ` `b)` `MN // PQ`

Giải:

`a)` Vì `G` là trọng tâm của `∆ABC` nên:

`GM = 1/2 GB` và `GN = 1/2 GC`

Vì `P`, `Q` là trung điểm `GB`, `GC` nên:

`GP = 1/2 GB` và `GQ = 1/2 GC`

`=>` `GM = GP` và `GN = GQ`

Xét `∆GMN` và `∆GPQ`, ta có:

`GM = GP`

`MGN^ = GPQ^` (hai góc đối đỉnh)

`GN = GQ`

`=>` `∆GMN = ∆GPQ` `(c.g.c)`

`b)` Vì `∆GMN = ∆GPQ`

`=>` `GMN^ = GPQ^` (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên `MN // PQ`

Gọi số trang bản thảo giao cho người thứ I là x

Số trang bản thảo giao cho người thứ II là 120 - x

(trang, x∈N, 0<x<120)

Thời gian người thứ I đánh máy xong số trang của mình là 6x (phút)

Thời gian người thứ II đánh máy xong số trang của mình là 10(120 - x) (phút)

Vì hai người cùng bắt đầu làm việc cùng một lúc và cùng hoàn thành công việc một lúc nên ta có pt:

6x = 10(120 - x)

6x = 1200 - 10x

6x + 10x = 1200

16x = 1200

x = 75 (TMĐK)

Số trang soạn thảo giao cho người thứ II là;

120 - 75 = 45 (trang)

=> Người thứ I: 75 trang

=> Người thứ II: 45 trang

`(x - a)^4 + 4a^4`

`= [(x-a)^4 + 4a^2(x - a)^2 + 4a^4)] - 4a^2(x - a)^2`

`= [(x - a)^2 + 2a^2]^2 - [2a(x - a)]^2`

`= [(x - a)^2 +2a^2 - 2a(x - a)].[(x - a)^2 + 2a^2 + 2a^2+2a(x - a)`

`= (x^2 - 2ax + a^2 + 2a^2 - 2ax + 2a^2).(x^2 - 2ax + a^2 + 2a^2 + 2ax - 2a^2)`

`= (x^2 - 4ax + 5a^2)(x^2 + a^2)`

Tỷ số phần trăm của giá bán so với giá gốc là:

100% + 20% = 120%

Số tiền gốc của chiếc ti vi đó là:

13 000 000 : 125 . 100 = 10 400 000 (đồng)

Đáp số: 10 400 000 đồng

\(\frac{x+5}{x-3}=3\) (ĐKXĐ:x>3)

\(x+5=3x-9\)

\(5+9=3x-x\)

\(14=2x\)

\(x=14:2\)

\(x=7\) (TMĐK)

Vậy x = 7