a) Xét ∆ABE vuông tại A và ∆HBE vuông tại H, có:

BE là cạnh huyền

\(\hat{ABE}=\hat{HBE}\) (vì BE là tia phân giác)

=> ∆ABE=∆HBE (ch-gn)

b) Ta có:

BA = BH (do ∆ABE=∆HBE)

=> B là đường trung trực của AH

EA = EH (do ∆ABE=∆HBE)

=> E là đương trung trực của AH

=> BE là đường trung trực của AH

c) Xét ∆EHC vuông tại H, có:

EC là cạnh huyền

EH là cạnh góc vuông

=> EH < EC (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông)

Mà EA = EH (cmt)

=> EA < EC

d) Xét ∆BKC, có:

CA⊥BK (do ∆ABC vuông tại A)

KH⊥BC

CA và KH cắt nhau tại E

Nên E là trực tâm của ∆BKC

=> BE⊥KC

Mà ta có BE là đường trung trực của AH (cmt)

=> BE⊥AH

Từ hai điều kiên đó

=> AH // KC

f) Xét hai tam giác vuông AEK và HEC, có:

\(\hat{EAK}=\hat{EHC}=90\degree\)

EA = EH (cmt)

\(\hat{AEK}=\hat{HEC}\) (hai góc đối đỉnh)

=> ∆AEK = ∆HEC (c.g.c)

=> AK = HC (hai cạnh tương ứng)

Mà ta có BA = BH (cmt)

Nên suy ra BA + AK = BH + HC

=> BK = BC

=> ∆BKC cân tại B

=> BI vừa là đường cao đồng thời trung tuyến

mà BE⊥KC

=> B,E,I thẳng hàng

Ta có:

\(-x\left(x^3-2x\right)-2x\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^4+2x^2-2x\left(x^2+2x-x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^4+2x^2-2x\left(x^2+x-2\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^4+2x^2-2x^3-2x^2+4x\)

\(\Leftrightarrow-x^4-2x^3+\left(2x^2-2x^2\right)+4x\)

\(\Leftrightarrow-x^4-2x^3+4x\)

Vậy đa thức sau khi thu gọn là: \(-x^4-2x^3+4x\)

Khi viết thêm chữ số 0 vào cuối của một số tự nhiên, số đó sẽ tăng lên gấp 10 lần số ban đầu.

=> Số thứ hai mới bằng 10 lần số thứ hai ban đầu.

Số thứ hai đã tăng thêm số lần là:

10 - 1 = 9 (lần)

9 lần của số thứ hai có giá trị là:

6641 - 2411 = 4230

Số thứ hai là:

4230 : 9 = 470

Số thứ nhất là:

2411 - 470 = 1941

Vậy số thứ nhất là 1941 và số thứ hai là 470

Ta có:

\(\frac{x}{y}=\frac85\Rightarrow\frac{x}{8}=\frac{y}{5}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bẳng nhau, ta có:

\(\frac{x}{8}=\frac{y}{5}=\frac{5x}{40}=\frac{4y}{20}=\frac{5x+4y}{40+20}=\frac{120}{60}=2\)

\(\Leftrightarrow x=2.8=16\)

\(\Leftrightarrow y=2.5=10\)

Vậy x = 16 và y = 10

Em chúc mừng anh nha, em định lên lớp 8 đi thi hsg Toán, em cảm ơn anh đã chia sẽ về cách học toán, em sẽ vận dụng và cố gắng hết mình cho kì thi hsg toán trong năm học này ạ!

\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\cdots+\frac{1}{99.100}\)

\(A=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(A=\left(1+\frac13+\cdots+\frac{1}{99}\right)-\left(\frac12+\frac14+\cdots+\frac{1}{100}\right)\)

\(A=\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{100}\right)-2.\left(\frac12+\frac14+\cdots+\frac{1}{100}\right)\)

\(A=\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac{1}{100}\right)-\left(1+\frac12+\cdots+\frac{1}{50}\right)\)

\(A=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+\cdots+\frac{1}{100}\)

Ta có:

\(A=\left(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\cdots+\frac{1}{75}\right)+\left(\frac{1}{76}+\frac{1}{77}+\cdots+\frac{1}{100}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\cdots+\frac{1}{75}>\frac{1}{75}.25=\frac13\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{76}+\frac{1}{77}+\cdots+\frac{1}{100}>\frac{1}{100}.25=\frac14\)

Suy ra \(A>\frac13+\frac14=\frac{7}{12}\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(A=\left(\frac{1}{51}+\cdots+\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{61}+\cdots+\frac{1}{80}\right)+\left(\frac{1}{81}+\ldots+\frac{1}{100}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{51}+\cdots+\frac{1}{60}<\frac{1}{50}.10=\frac15\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{61}+\cdots+\frac{1}{80}<\frac{1}{60}.20=\frac13\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{81}+\cdots+\frac{1}{100}<\frac{1}{80}.20=\frac14\)

Suy ra \(A<\frac15+\frac13+\frac14=\frac{47}{60}\)

Vì \(\frac{47}{60}<\frac{50}{60}=\frac56\) nên \(A<\frac56\left(2\right)\)

Từ (1)(2) suy ra \(\frac{7}{12}<A<\frac56\)

Câu 1:

\(\left(x-7\right)\left(x+7\right)\)

\(=x^2-7^2\)

\(=x^2-49\)

Câu 2:

\(\left(2x-\frac12\right)\left(2x+\frac12\right)\)

\(=\left(2x\right)^2-\left(\frac12\right)^2\)

\(=4x^2-\frac14\)

Câu 3:

\(\left(5-3x\right)\left(3x+5\right)\)

\(=\left(5-3x\right)\left(5+3x\right)\)

\(=5^2-\left(3x\right)^2\)

\(=25-9x^2\)

Gọi tử số của phân số cần tìm là x (x∈Z,x≠-3)

Vì mẫu số lớn hơn tử số là 3 nên mẫu số là x+3

Nếu bớt tử đi 3 và giữ nguyên mẫu thì ta được phân số mới là \(\frac{x-3}{x+3}\)

Theo đề bài, phân số mới bằng \(\frac12\) nên ta có pt:

\(\frac{x-3}{x+3}=\frac12\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-3\right)=1\left(x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow2x-6=x+3\)

\(\Leftrightarrow2x-x=3+6\)

\(\Leftrightarrow x=9\) (TMĐK)

Tử số là 9 suy ra mẫu số là 9 + 3 = 12

Vậy phân số cần tìm là \(\frac{9}{12}\)

a) Xét ∆ABD và ∆EBD, có:

BA = BE (gt)

\(\hat{ABD}=\hat{EBD}\)

BD là cạnh chung

=> ∆ABD~∆EBD (c.g.c)

b) Ta có: \(\hat{BED}=\hat{BAD}=90\degree\) (do ∆ABD~∆EBD)

=> DE⊥BC

Mà AH⊥BC

=> DE // AH (cùng vuông BC)

Xét tứ giác ADEH, có:

DE // AH

=> ADEH là hình thang

Mà \(\hat{DAH}=90\degree\) nên ADEH là hình thang vuông

c) Gọi K là giao điểm của BD và AE

Xét ∆BAE, có:

BA = BE (cmt)

Nên ∆BAE cân tại B

Lại có BK là tia phân giác nên BK đồng thời là đường cao (do tam giác cân có tia phân giác đồng thời là đường cao)

=> BD⊥AE tại K

Xét ∆ABE, có:

AH⊥BE

BD⊥AE (cmt)

Mà AH cắt BD tại I nên I là trực tâm của ∆ABE

=> EI là đường cao hay EI⊥AB tại F

Ta có:

EF⊥AB

AC⊥AB (∆ABC cân tại A)

=> EF // AC

Xét tứ giác ACEF, có:

EF // AC

=> ACEF là hình thang

Mà \(\hat{FAC}=90\degree\) nên ACEF là hình thang vuông

\(\left(5-x\right)^5:\left(x-5\right)^4\)

\(=\left(5-x\right)^5:\left(5-x\right)^4\)

\(=5-x\)