\(2^{5x}+1=33\)

\(\Leftrightarrow2^{5x}=32\)

\(\Leftrightarrow2^{5x}=2^5\)

\(\Leftrightarrow5x=5\)

\(\Rightarrow x=1\)

Vậy \(x=1\)

Xét hai tam giác vuông ABE và ADK, có:

\(\widehat{A}=90\degree\)

AD = AE (đề bài)

\(\widehat{ABE}=\widehat{ADK}\)

=> ∆ABE = ∆ADK (cgv-gn)

=> AB = AK (hai cạnh tương ứng)

Mà ta có AB = AC

=> AK = AC

Hay K trùng C

Xét ∆BKC, có:

BA⊥KC

=> BA là đường cao thứ nhất của ∆BKC

KH⊥BE

=> KH là đường cao thứ hai của ∆BKC

Mà BA và KH cắt nhau tại D

=> D là trực tâm của ∆BKC

=> ED⊥BK

Sửa đề : \(x+\left(x+3\right)+\left(x+6\right)+\cdots+\left(x+30\right)=1452\)

Số số hạng là:

\(\left(30-3\right):3+1=10\) (số)

Tổng của các số hạng đó là:

\(\left(30+3\right)\cdot20:2=165\)

Tổng x là 11x

\(\Rightarrow11x+165=1452\)

\(\Rightarrow11x=1452-165\)

\(\Rightarrow11x=1287\)

\(\Rightarrow x=1287:11\)

\(\Rightarrow x=117\)

Vậy \(x=117\)

Bài 3:

a) \(x^2-x+1\)

\(=\left(x^2-2x\cdot\dfrac12+\dfrac14\right)+\dfrac34\)

\(=\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac34\)

Ta có: \(\left(x-\dfrac12\right)^2\ge0\forall x\)

=> \(A\ge\dfrac34\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x-\dfrac12=0\)

\(\Rightarrow x=\dfrac12\)

Vậy min A \(=\dfrac34\) khi \(x=\dfrac12\)

b) \(2x^2+9y^2-6xy-6x-12y+2026\)

\(=\left(9y^2-6xy-12y+x^2+4x+4\right)+\left(x^2-10x+2022\right)\)

\(=\left\lbrack\left(3y\right)^2-2\cdot3y\cdot\left(x+2\right)+\left(x+2\right)^2\right\rbrack+\left(x^2-10x+25\right)+1997\)

\(=\left(3y-x-2\right)^2+\left(x-5\right)^2+1997\)

Ta có: \(\begin{cases}\left(3y-x-2\right)^2\ge0\\ \left(x-5\right)^2\ge0\end{cases}\forall x,y\)

\(\Rightarrow B\ge1997\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}x-5=0\\ 3y-x-2=0\end{cases}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}x=5\\ y=\dfrac73\end{cases}\)

Vậy min B \(=1997\) khi \(x=5\) và \(y=\dfrac73\)

Bài 4:

a) \(1-x+4-x^2\)

\(=5-x-x^2\)

\(=-\left(x^2+x-5\right)\)

\(=-\left(x^2+2x\cdot\dfrac12+\dfrac14-\dfrac{21}{4}\right)\)

\(=-\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac{21}{4}\)

Ta có: \(-\left(x+\dfrac12\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow C\ge\dfrac{21}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x+\dfrac12=0\)

\(\Rightarrow x=-\dfrac12\)

Vậy max C \(=-\dfrac{21}{4}\) khi \(x=-\dfrac12\)

b) \(-x^2-4y^2+2xy+2x+10y-10\)

\(=-\left(x^2-2xy-2x\right)-4y^2+10y-10\)

\(=-\left\lbrack x^2-2x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2\right\rbrack+\left(y+1\right)^2-4y^2+10y-10\)

\(=-\left(x-y-1\right)^2+\left(y^2+2y+1\right)-4y^2+10y-10\)

\(=-\left(x-y-1\right)^2-3y^2+12y-9\)

\(=-\left(x-y-1\right)^2-3\left(y^2-3y+4\right)+12-9\)

\(=-\left(x-y-1\right)^2-3\left(y-2\right)^2+3\)

Ta có: \(\begin{cases}-\left(x-y-1\right)^2\le0\\ -3\left(y-2\right)^2\le0\end{cases}\forall x,y\)

\(\Rightarrow D\le3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}y-2=0\\ x-y-1=0\end{cases}\)

\(\Rightarrow\begin{cases}y=2\\ x=3\end{cases}\)

Vậy max D \(=3\) khi \(x=3\) và \(y=2\)

Hiệu của hai số là:

24 x 2 = 48

Số bé là:

(468 - 48) : 2 = 210

Số lớn là:

(468 + 48) : 2 = 258

Đáp số:.....

Xét ΔADE và ΔACB, có:

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\) (đề bài)

=> ΔADE~ΔACB (g.g)

=> \(\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AC}{AB}\)

=> AE x AB = AD x AC

1m\(^2\) = 10000cm\(^2\)

=> 20m\(^2\) = 20 x 10000 = 200000cm\(^2\)

Ta có: \(3^{x}=3^4\)

\(x=4\)

Vậy \(x=4\)

\(\dfrac34:x=\dfrac12\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac34:\dfrac12\)

\(^{}\Leftrightarrow x=\dfrac34\times2\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac64\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac32\)

Vậy \(\dfrac34:\dfrac32=\dfrac12\)

\(\dfrac23\times\dfrac43\times\dfrac38\times\dfrac32\)

\(=\dfrac89\times\dfrac38\times\dfrac32\)

\(=\dfrac{24}{72}\times\dfrac32\)

\(=\dfrac13\times\dfrac32\)

\(=\dfrac36\)

\(=\dfrac12\)

Số quyển sách còn lại sau khi cho mượn là:

875 - 268 = 607 (quyển)

Thư viện có tất cả số quyển sách là:

607 + 145 = 752 (quyển)

Đáp số: 752 quyển