Ta có dãy số:

A = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ 100

Số số hạng trong dãy số là:

(100 - 1) : 1 + 1 = 100 (số)

Tổng dãy số trên là:

(100 + 1) . 100 : 2 = 5050

Khi thực hiện xóa hai số nguyên a và b bất kỳ trên bảng rồi thay bằng hiệu a - b, tổng mới của các số trên bảng so với tổng cũ sẽ giảm đi a + b và được cộng thêm a - b.

Do đó, hiệu giữa tổng mới và tổng cũ của các số trên bảng sau mỗi bước biến đổi là:

(a - b) - (a + b) = -2b

Vì -2b là một số chẵn với mọi số nguyên b, nên sau mỗi lần thực hiện việc xóa và thay số, tổng các số trên bảng luôn giảm đi một số chẵn

Tổng của các số từ 1 đến 2027 trên bảng lúc ban đầu là:

A = 1 + 2 + ... + 2027

A = 2027 . [(2027 + 1) . 1/2]

A = 2027 . 2028/2

A = 2027 . 2014

Do số 2014 là một số chẵn nên tích 2027 . 2014 là một số chẵn

Suy ra tổng các số ban đầu trên bảng là một số chẵn.

Vì tích chẵn lẻ của tổng các số trên bảng không thay đổi qua mỗi bước biến đổi nên số cuối cùng còn lại duy nhất trên bảng phải là một số chẵn.

Mà số 1 là số lẻ nên không thỏa mãn điều kiện trên.

Vậy số duy nhất còn lại trên bảng không thể là số 1.

Ta có f(x) =ax\(^2\) +bx + c ⋮ 2009 ∀ x ∈ Z

Thay x = 0, ta có:

f(0) = a . 0\(^2\) + b . 0 + c

f(0) = c

Vì f(0) ⋮ 2009 nên suy ra c ⋮ 2009

Thay x = 1, ta có:

f(1) = a . 1\(^2\) + b . 1 + c

f(1) = a + b + c

Vì f(1) ⋮ 2009 và c ⋮ 2009 nên suy ra (a + b) ⋮ 2009

Thay x = -1, ta có:

f(-1) = a . (-1)\(^2\) + b . (-1) + c

f(-1) = a - b + c

Vì f(-1) ⋮ 2009 và c ⋮ 2009 nên suy ra (a - b) ⋮ 2009

Do (a + b) ⋮ 2009 và (a - b) ⋮ 2009

Suy ra (a + b) + (a - b)

Mà số 2 và số 2009 là hai số nguyên tố cùng nhau

Do đó, ta suy ra a ⋮ 2009

Vì vậy, hiệu hai bình phương cũng phải chia hết cho 2009

(a + b) - (a - b) ⋮ 2009

\(\Leftrightarrow\) 2b ⋮ 2009

Do số 2 và số 2009 là hai số nguyên tố cùng nhau

Vậy ta suy ra được b ⋮ 2009

Do đó, ba hệ số a, b, c ⋮ 2009

Vậy nếu giá trị của đa thức f(x) = ax\(^2\) + bx + c ⋮ 2009 ∀ x ∈ Z thì các hệ số a, b, c ⋮ 2009.

Gọi hai số nguyên liên tiếp cần tìm là n và n + 1 (n∈Z).

Hiệu hai bình phương của hai số liên tiếp:

A = (n + 1)\(^2\) - n\(^2\)

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta có:

A = (n + 1)\(^2\) - n\(^2\)

A = (n + 1 - n)(n + 1 + n)

A = 1(2n + 1)

A = 2n + 1.

Vì n∈Z nên 2n là số chẵn, suy ra 2n + 1 là một số lẻ.

Do đó, hiệu hai bình phương của hai số nguyên liên tiếp luôn là một số lẻ.

TH1: Hiệu hai bình phương của hai só bằng 2004.

2n + 1 = 2004

2n = 2004 - 1

2n = 2003

n = 2003 : 2

n = 1001,5 (loại)

TH2: Hiệu hai bình phương của hai số bằng 2005.

2n + 1 = 2005

2n = 2005 - 1

2n = 2004

n = 2004 : 2

n = 1002 (TMĐK)

Do đó, số nguyên tiếp theo là:

n + 1 = 1002

n = 1002 + 1

n = 1003

=> Tình cảm lưu luyến của người chinh phụ khu phải xa cách người chinh phu,

`a)` Vì `ABCD` là hình vuông có `O` là giao điểm của hai đường chéo `AC` và `BD`.

`=> OA = OB = OC = OD` và `AC⊥BD` tại `O => ^BOC = 90°`

Mà ta có ahi đường chéo

`=> ^OBA = ^OCB (= 45°)`

`=> ^OBM = ^OCN (= 45°)

Xét `∆OMB` và `∆ONC`, ta có:

`OB = OC` (cmt)

`^OBM = ^OCN (= 45°)` (cmt)

`BM = CN` (gt)

`=> ∆OMB~∆ONC` `(c.g.c)`

`=> OM = ON` (hai cạnh tương ứng)

`=> ∆MON` cân tại `O`. `(1)`

`=> ^BOM = ^CON` (hai góc tương ứng)

Ta lại có:

`^MON = ^MOB + ^BON`

Thay `^MOB = ^CON`, ta có:

`^MON = ^CON + ^BON = ^BOC`

Mà `^BOC = 90°`

`=> MON = 90°` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra `∆MON` vuông cân tại `O`

`b)` Xét `∆ABM` và `∆BCN`,ta có:

`AB = BC` (hai cạnh hình vuông)

`^BAM = ^CBN (= 90°)`

`BM = CN` (gt)

`=> ∆ABM~∆BCN` `(c.g.c)`

`=> ^BAM = ^CBN` (hai góc tương ứng)

Gọi I là giao điểm của `AN` và `BM`

Xét tam giác vuông `ABM` vuông tại `A`, ta có:

`^BAM = ^AMB (= 90°)`

Mà `^BAM = ^CBN`

`=> ^CBN + ^AMB (= 90°)`

Xét `∆BIM`, có:

`^BIM = 180° - (^CBN + ^AMB)`

`^BIM = 180° - 90°`

`^BIM = 90°`

`=> AN⊥BM` hay `AE⊥BM`

Vì `ABCD` là hình vuông nên `AB // CD`

Mà `E` là giao điểm của `AN` và `DC`

`=> AB // CE`

Xét `∆EAN` có `AB // CE`

Áp dụng hệ quả định luật ta-lét, ta có:

`EC/AB = CN/NB`

Do `AB = BC` (cạnh hình vuông) và `CN = BM` (gt), ta thay vào được:

`EC/BC = CN/BN` `(1)`

Xét `∆BCE` vuông tại `C` và `∆MBN` vuông tại `B`, ta có:

`^BCE = ^MBN (= 90°)`

`EC/BC = CN/BN`

`=> ∆BCE~∆MBN` `(c.g.c)`

`=> ^BEC = ^MNB` (hai góc tương ứng)

Gọi `K` là giao điểm của đường thẳng `CF` và `BE`

Xét `∆BCE` vuông tại `C`, có:

`^BEC + ^EBC (= 90°)` (theo tính chất góc phụ nhau)

Mà `^BEC = ^MNB`

`=> ^MNB + ^EBC (= 90°)`

Xét `∆BKC`, có:

`^KBC + ^KCB (= 90°)`

`=> ^BKC = 180° - (KBC + ^KCB)`

`=> ^BKC = 180° - 90°`

`=> ^BKC = 90°`

`=> CK⊥BK` hay `CF⊥BE` (đpcm)

`c)` Ta có chu vi tứ giác `OMBN`

`=> OMBN = OM + MB + BN + ON`

Mà ta có `OM = ON` (cmt)

Vì `N∈BC`

`=> BN = BC - CN`

Mà `CN = BM` (gt)

`=> BN = BC - BM`

`=> BM + BN = BC`

`=> OMBN = (OM + ON) + (BM + BN)`

`=> OMBN = 20M + BC`

Do hình vuông `ABCD` cố định nên cạnh `BC` luôn cố định

`=>` Để chu vi nhỏ nhất thì OM phải nhỏ nhất.

Kẻ `OH⊥AB` tại `H`

Xét `∆OHM` vuông tại `H`

Áp dụng quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên, ta có:

`OM ≥ OH

Do đó, `OM(min) = OH`

Dấu `"="` xảy ra khi `M` trùng với `H`

`=>` Để chu vi `OMBN` đạt giá trị nhỏ nhất thì điểm `M` là trung điểm của `BC`

Khái niệm: Phép trừ thực chất là phép cộng với số đối.

Ví dụ: Ta có biểu thức `5x - 3y` có thể viết lại thành `5x + (-3y)`

Do đó, dấu trừ ở đây là phép cộng đơn thức âm

`=>` Biểu thức chứa phép trừ vẫn là tổng của các đơn thức.

Cho bài toán ví dụ nhưng nâng cao (khó ấy):

Cho `∆ABC` có hai đường trung tuyến `BM` và `CN` cắt nhau tại trọng tâm `G`. Gọi `P` và `Q` lần lượt là trung điểm của `GB` và `GC`

`a)` `∆GMN = ∆GPQ` `b)` `MN // PQ`

Giải:

`a)` Vì `G` là trọng tâm của `∆ABC` nên:

`GM = 1/2 GB` và `GN = 1/2 GC`

Vì `P`, `Q` là trung điểm `GB`, `GC` nên:

`GP = 1/2 GB` và `GQ = 1/2 GC`

`=>` `GM = GP` và `GN = GQ`

Xét `∆GMN` và `∆GPQ`, ta có:

`GM = GP`

`MGN^ = GPQ^` (hai góc đối đỉnh)

`GN = GQ`

`=>` `∆GMN = ∆GPQ` `(c.g.c)`

`b)` Vì `∆GMN = ∆GPQ`

`=>` `GMN^ = GPQ^` (hai góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong nên `MN // PQ`

Gọi số trang bản thảo giao cho người thứ I là x

Số trang bản thảo giao cho người thứ II là 120 - x

(trang, x∈N, 0<x<120)

Thời gian người thứ I đánh máy xong số trang của mình là 6x (phút)

Thời gian người thứ II đánh máy xong số trang của mình là 10(120 - x) (phút)

Vì hai người cùng bắt đầu làm việc cùng một lúc và cùng hoàn thành công việc một lúc nên ta có pt:

6x = 10(120 - x)

6x = 1200 - 10x

6x + 10x = 1200

16x = 1200

x = 75 (TMĐK)

Số trang soạn thảo giao cho người thứ II là;

120 - 75 = 45 (trang)

=> Người thứ I: 75 trang

=> Người thứ II: 45 trang

`(x - a)^4 + 4a^4`

`= [(x-a)^4 + 4a^2(x - a)^2 + 4a^4)] - 4a^2(x - a)^2`

`= [(x - a)^2 + 2a^2]^2 - [2a(x - a)]^2`

`= [(x - a)^2 +2a^2 - 2a(x - a)].[(x - a)^2 + 2a^2 + 2a^2+2a(x - a)`

`= (x^2 - 2ax + a^2 + 2a^2 - 2ax + 2a^2).(x^2 - 2ax + a^2 + 2a^2 + 2ax - 2a^2)`

`= (x^2 - 4ax + 5a^2)(x^2 + a^2)`