亗_Vương•Thừa•Trí_ᴠᴀɴɢᴜᴀʀᴅ亗
Giới thiệu về bản thân
Kính thưa thầy cô và các bạn, tôi tên là Vương Thừa Trí, hiện là học sinh/sinh viên với tinh thần cầu thị và niềm đam mê học hỏi lớn. Tôi rất mong được đồng hành, trao đổi kiến thức và cùng mọi người đạt được những thành tích cao trong học tập.Lý Lịch Học TậpTinh thần: Chủ động và nghiêm túc.Mục tiêu: Tích lũy kiến thức sâu rộng.Phương châm: Học đi đôi với hành.
0
0
0
0
0
0
0
2026-09-05 21:48:27
ò mong là k tiếp tục chiến tranh mạng
2026-09-05 21:47:42
huhhu anh hè tổng ơiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
2026-09-05 21:29:19
đó chính là xã hội
2026-09-05 21:27:44
nhớ nạn đói ở việt quá :(
2026-09-05 21:25:50
Hãy nhìn lên bầu trời, thật đẹp biết bao
Hãy ngắm nhìn những đóa hoa, chúng thật tuyệt mỹ
Hãy nhìn sa mạc, rực rỡ sắc màu
Nhưng giờ hãy nhìn lại chính bản thân bạn
Và tôi thấy một con người tuyệt vời nhất mà mình từng gặp
Hãy nhìn tôi, và bạn sẽ thấy tôi đang nói sự thật
Hãy nhìn vào chính mình, vào những cảm xúc của bạn
Và thấy rằng bạn hoàn hảo đến nhường nào...!
và cảm ơn bạn vì đã chia sẻ đoạn thơ ý ngĩa này
2026-09-05 21:21:27
dưới nòng tiểu liên chúng sinh bình đẳng :)
2026-09-05 21:15:08
verity mới ở game verify nó mang một ý ngĩa lơans hơn
2026-09-05 21:12:06
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức (bất đẳng thức Bunhiacopski dạng phân thức) cho vế trái, ta có:
\(\frac{a^{2}}{(a+2b)^{3}}+\frac{b^{2}}{(b+2c)^{3}}+\frac{c^{2}}{(c+2a)^{3}}\ge \frac{(a+b+c)^{2}}{a(a+2b)^{3}+b(b+2c)^{3}+c(c+2a)^{3}}\)Vì \(a+b+c=3 \implies (a+b+c)^2 = 9\). Bây giờ mục tiêu của chúng ta là đánh giá mẫu số:
\(M=a(a+2b)^{3}+b(b+2c)^{3}+c(c+2a)^{3}\)Để hạ bậc mẫu số từ bậc 3, ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cho 3 số) một cách khéo léo để làm xuất hiện đại lượng ở mẫu:
Xét số hạng đầu tiên \(a(a+2b)^3\), ta biến đổi và áp dụng AM-GM:
\(a(a+2b)^{3}+\text{hằng số}\dots \)
Cách tiếp cận chuẩn nhất là sử dụng bất đẳng thức AM-GM đảo ngược hoặc Cauchy-Schwarz trực tiếp cho các căn bậc hai. Ta có đánh giá sau:
\(\frac{a^{2}}{(a+2b)^{3}}+\frac{a+2b}{27}+\frac{a+2b}{27}\ge 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{(a+2b)^{3}}\cdot \frac{a+2b}{27}\cdot \frac{a+2b}{27}}=3\cdot \frac{\sqrt[3]{a^{2}\cdot (a+2b)}}{9}\)
Tuy nhiên, cách này vẫn còn chứa căn thức phức tạp. Thay vào đó, ta sử dụng kỹ thuật Cauchy-Schwarz trực tiếp cho từng phân số:Ta có:
\(\frac{a}{\sqrt{a+2b}}\cdot \frac{1}{a+2b}\dots \)Hãy quan sát bất đẳng thức phụ sau bằng AM-GM:
\(\frac{a^{2}}{(a+2b)^{3}}+\frac{a(a+2b)}{54}+\frac{1}{18}\ge 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{(a+2b)^{3}}\cdot \frac{a(a+2b)}{54}\cdot \frac{1}{18}}=\frac{a}{6}\)
(Kiểm tra lại tích: \(\frac{a^2}{(a+2b)^3} \cdot \frac{a(a+2b)}{54} \cdot \frac{1}{18} = \frac{a^3}{972(a+2b)^2}\), căn bậc 3 không triệt tiêu hết mẫu \(a+2b\), hướng này chưa chuẩn).Hướng đi chính xác nhất:
Ta nhân cả tử và mẫu của từng phân thức để đưa về bình phương:
\(\frac{a^{2}}{(a+2b)^{3}}=\frac{\left(\frac{a}{a+2b}\right)^{2}}{a+2b}\)Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức:
\(\sum \frac{\left(\frac{a}{a+2b}\right)^{2}}{a+2b}\ge \frac{\left(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\right)^{2}}{(a+2b)+(b+2c)+(c+2a)}=\frac{\left(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\right)^{2}}{3(a+b+c)}=\frac{\left(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\right)^{2}}{9}\)Bây giờ ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức phụ quen thuộc:
\(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\ge 1\)Chứng minh bất đẳng thức phụ:
Biến đổi vế trái bằng cách trừ đi 1 từ mỗi phân thức:
\(\frac{a}{a+2b}=1-\frac{2b}{a+2b}\)
Do đó, bất đẳng thức tương đương với:
\(\left(1-\frac{2b}{a+2b}\right)+\left(1-\frac{2c}{b+2c}\right)+\left(1-\frac{2a}{c+2a}\right)\ge 1\)
\(\iff 3-2\left(\frac{b}{a+2b}+\frac{c}{b+2c}+\frac{a}{c+2a}\right)\ge 1\)
\(\iff \frac{b}{a+2b}+\frac{c}{b+2c}+\frac{a}{c+2a}\le 1\)Tiếp tục áp dụng Cauchy-Schwarz cho vế trái của biểu thức mới này bằng cách nhân tử và mẫu với chính đại lượng ở tử:
\(\frac{b}{a+2b}=\frac{b^{2}}{ab+2b^{2}}\)
\(\implies \sum \frac{b^{2}}{ab+2b^{2}}\ge \frac{(a+b+c)^{2}}{(ab+bc+ca)+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\)
(Dấu bất đẳng thức bị ngược chiều \(\ge \) thay vì \(\le \), nên ta cần đảo ngược lại).Cách đảo ngược đúng:
\(\frac{b}{a+2b}=\frac{1}{2}\left(\frac{2b}{a+2b}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{a}{a+2b}\right)\)
Bản chất của bổ đề \(\frac{a}{a+2b} + \frac{b}{b+2c} + \frac{c}{c+2a} \geq 1\) là một bất đẳng thức đúng và rất nổi tiếng. Ta chứng minh nó bằng Cauchy-Schwarz như sau:
\(\sum \frac{a}{a+2b}=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab}\ge \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}=\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}}=1\)Bổ đề đã được chứng minh hoàn toàn!Kết luận:Thay kết quả bổ đề \(\left(\sum \frac{a}{a+2b} \geq 1\right)\) vào biểu thức ban đầu:
\(\text{VT}\ge \frac{\left(\sum \frac{a}{a+2b}\right)^{2}}{9}\ge \frac{1^{2}}{9}=\frac{1}{9}\)Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\). (đpcm)
\(\frac{a^{2}}{(a+2b)^{3}}+\frac{b^{2}}{(b+2c)^{3}}+\frac{c^{2}}{(c+2a)^{3}}\ge \frac{(a+b+c)^{2}}{a(a+2b)^{3}+b(b+2c)^{3}+c(c+2a)^{3}}\)Vì \(a+b+c=3 \implies (a+b+c)^2 = 9\). Bây giờ mục tiêu của chúng ta là đánh giá mẫu số:
\(M=a(a+2b)^{3}+b(b+2c)^{3}+c(c+2a)^{3}\)Để hạ bậc mẫu số từ bậc 3, ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cho 3 số) một cách khéo léo để làm xuất hiện đại lượng ở mẫu:
Xét số hạng đầu tiên \(a(a+2b)^3\), ta biến đổi và áp dụng AM-GM:
\(a(a+2b)^{3}+\text{hằng số}\dots \)
Cách tiếp cận chuẩn nhất là sử dụng bất đẳng thức AM-GM đảo ngược hoặc Cauchy-Schwarz trực tiếp cho các căn bậc hai. Ta có đánh giá sau:
\(\frac{a^{2}}{(a+2b)^{3}}+\frac{a+2b}{27}+\frac{a+2b}{27}\ge 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{(a+2b)^{3}}\cdot \frac{a+2b}{27}\cdot \frac{a+2b}{27}}=3\cdot \frac{\sqrt[3]{a^{2}\cdot (a+2b)}}{9}\)
Tuy nhiên, cách này vẫn còn chứa căn thức phức tạp. Thay vào đó, ta sử dụng kỹ thuật Cauchy-Schwarz trực tiếp cho từng phân số:Ta có:
\(\frac{a}{\sqrt{a+2b}}\cdot \frac{1}{a+2b}\dots \)Hãy quan sát bất đẳng thức phụ sau bằng AM-GM:
\(\frac{a^{2}}{(a+2b)^{3}}+\frac{a(a+2b)}{54}+\frac{1}{18}\ge 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{(a+2b)^{3}}\cdot \frac{a(a+2b)}{54}\cdot \frac{1}{18}}=\frac{a}{6}\)
(Kiểm tra lại tích: \(\frac{a^2}{(a+2b)^3} \cdot \frac{a(a+2b)}{54} \cdot \frac{1}{18} = \frac{a^3}{972(a+2b)^2}\), căn bậc 3 không triệt tiêu hết mẫu \(a+2b\), hướng này chưa chuẩn).Hướng đi chính xác nhất:
Ta nhân cả tử và mẫu của từng phân thức để đưa về bình phương:
\(\frac{a^{2}}{(a+2b)^{3}}=\frac{\left(\frac{a}{a+2b}\right)^{2}}{a+2b}\)Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức:
\(\sum \frac{\left(\frac{a}{a+2b}\right)^{2}}{a+2b}\ge \frac{\left(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\right)^{2}}{(a+2b)+(b+2c)+(c+2a)}=\frac{\left(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\right)^{2}}{3(a+b+c)}=\frac{\left(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\right)^{2}}{9}\)Bây giờ ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức phụ quen thuộc:
\(\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\ge 1\)Chứng minh bất đẳng thức phụ:
Biến đổi vế trái bằng cách trừ đi 1 từ mỗi phân thức:
\(\frac{a}{a+2b}=1-\frac{2b}{a+2b}\)
Do đó, bất đẳng thức tương đương với:
\(\left(1-\frac{2b}{a+2b}\right)+\left(1-\frac{2c}{b+2c}\right)+\left(1-\frac{2a}{c+2a}\right)\ge 1\)
\(\iff 3-2\left(\frac{b}{a+2b}+\frac{c}{b+2c}+\frac{a}{c+2a}\right)\ge 1\)
\(\iff \frac{b}{a+2b}+\frac{c}{b+2c}+\frac{a}{c+2a}\le 1\)Tiếp tục áp dụng Cauchy-Schwarz cho vế trái của biểu thức mới này bằng cách nhân tử và mẫu với chính đại lượng ở tử:
\(\frac{b}{a+2b}=\frac{b^{2}}{ab+2b^{2}}\)
\(\implies \sum \frac{b^{2}}{ab+2b^{2}}\ge \frac{(a+b+c)^{2}}{(ab+bc+ca)+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\)
(Dấu bất đẳng thức bị ngược chiều \(\ge \) thay vì \(\le \), nên ta cần đảo ngược lại).Cách đảo ngược đúng:
\(\frac{b}{a+2b}=\frac{1}{2}\left(\frac{2b}{a+2b}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{a}{a+2b}\right)\)
Bản chất của bổ đề \(\frac{a}{a+2b} + \frac{b}{b+2c} + \frac{c}{c+2a} \geq 1\) là một bất đẳng thức đúng và rất nổi tiếng. Ta chứng minh nó bằng Cauchy-Schwarz như sau:
\(\sum \frac{a}{a+2b}=\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2ab}\ge \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)}=\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}}=1\)Bổ đề đã được chứng minh hoàn toàn!Kết luận:Thay kết quả bổ đề \(\left(\sum \frac{a}{a+2b} \geq 1\right)\) vào biểu thức ban đầu:
\(\text{VT}\ge \frac{\left(\sum \frac{a}{a+2b}\right)^{2}}{9}\ge \frac{1^{2}}{9}=\frac{1}{9}\)Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\). (đpcm)
2026-09-05 21:10:19
I am not here, and you need to know about this issue :)
:)
2026-09-05 21:08:44
vấn đề đã được giải quyêat