1. Trên Mặt Trăng có "năm" không?

Về mặt kỹ thuật, Mặt Trăng quay quanh Trái Đất và cùng Trái Đất quay quanh Mặt Trời. Vì vậy, 1 năm trên Mặt Trăng có độ dài bằng đúng 1 năm trên Trái Đất (khoảng 365,25 ngày).

Lý do là vì cả hai thực thể này là một "cặp bài trùng" cùng nhau hoàn thành một vòng quỹ đạo quanh Mặt Trời trong cùng một khoảng thời gian.

2. Sự khác biệt nằm ở "Ngày"

Điểm gây nhầm lẫn thường nằm ở thời gian tự quay của Mặt Trăng. Do hiện tượng khóa thủy triều, Mặt Trăng mất khoảng 29,5 ngày Trái Đất để hoàn thành một chu kỳ ngày - đêm (từ lúc trăng mới này đến trăng mới tiếp theo).

Nếu chúng ta so sánh dựa trên các đơn vị thời gian:

1. Cách 1: Tổng hai góc đối diện bằng $180^\circ$

Đây là cách dùng nhiều nhất cho các tứ giác lồi.

• Lý thuyết: Nếu tứ giác $ABCD$ có $\widehat{A} + \widehat{C} = 180^\circ$ hoặc $\widehat{B} + \widehat{D} = 180^\circ$ thì 4 điểm đó thuộc một đường tròn.
• Ví dụ từ bài trước: Gọi $H$ là trực tâm. Tứ giác $AEHK$ có $\widehat{AKH} = 90^\circ$ và $\widehat{AEH} = 90^\circ$.
• • $\Rightarrow \widehat{AKH} + \widehat{AEH} = 180^\circ$.
  • Vậy 4 điểm $A, K, H, E$ cùng thuộc một đường tròn (đường kính $AH$).

2. Cách 2: Hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau

Cách này thường dùng khi bạn thấy có hai tam giác vuông chung cạnh huyền.

• Lý thuyết: Nếu hai điểm $K, E$ cùng nhìn đoạn $BC$ dưới một góc bằng nhau ($\widehat{BKC} = \widehat{BEC} = \alpha$) thì $B, K, E, C$ cùng thuộc một đường tròn.
• Ví dụ từ bài trước: Xét tứ giác $BKEC$ có:
• • $\widehat{BKC} = 90^\circ$ (do $CK \perp AB$)
  • $\widehat{BEC} = 90^\circ$ (do $BE \perp AC$)
  • $\Rightarrow K$ và $E$ cùng nhìn $BC$ dưới góc $90^\circ$.
  • Vậy 4 điểm $B, K, E, C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BC$.

3. Cách 3: Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện

• Lý thuyết: Nếu góc ngoài tại đỉnh $A$ bằng góc trong tại đỉnh $C$ của tứ giác $ABCD$, thì tứ giác đó nội tiếp.
• Liên hệ bài trước: Ở câu (b) bạn đã chứng minh được $\widehat{AEK} = \widehat{ABC}$. Vì $\widehat{AEK}$ là góc ngoài tại đỉnh $E$ của tứ giác $BKEC$, nên điều này cũng chứng minh được $B, K, E, C$ nội tiếp.

4. Cách 4: Phương tích điểm (Dành cho học sinh giỏi)

• Lý thuyết: Nếu có một điểm $M$ sao cho $MA \cdot MB = MC \cdot MD$ (với $M$ là giao điểm của $AB$ và $CD$), thì 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một đường tròn.
• Ứng dụng: Cách này thường dùng để chứng minh ngược lại khi đã biết các tỉ số đồng dạng.

Tóm tắt nhanh:

10

chữ đọc tiếp nó in đậm đấy

ko thở bằng mũi

1. Phân tích bài toán

• Cho: $\triangle ABC$ nhọn, $AB < AC$.
• Đường cao: $BE \perp AC$, $CK \perp AB$.
• Trực tâm: $H$ là giao điểm của $BE$ và $CK$.

a) Chứng minh $\triangle KHB \sim \triangle EHC$

Xét hai tam giác vuông $\triangle KHB$ và $\triangle EHC$, ta có:

• $\widehat{HKB} = \widehat{HEC} = 90^\circ$ (do $BE, CK$ là đường cao).
• $\widehat{KHB} = \widehat{EHC}$ (hai góc đối đỉnh).

$\Rightarrow \triangle KHB \sim \triangle EHC$ (theo trường hợp góc - góc).

b) Chứng minh $AK \cdot AB = AE \cdot AC$ và $\widehat{AEK} = \widehat{ABC}$

Ý 1: Chứng minh $AK \cdot AB = AE \cdot AC$

Xét $\triangle AEB$ và $\triangle AKC$:

• $\widehat{A}$ chung.
• $\widehat{AEB} = \widehat{AKC} = 90^\circ$.

$\Rightarrow \triangle AEB \sim \triangle AKC$ (g.g).

$\Rightarrow \frac{AE}{AK} = \frac{AB}{AC}$ (tỉ số đồng dạng).

$\Rightarrow \mathbf{AK \cdot AB = AE \cdot AC}$ (đpcm).

Ý 2: Chứng minh $\widehat{AEK} = \widehat{ABC}$

Từ tỉ số $\frac{AE}{AK} = \frac{AB}{AC}$ ở trên, ta suy ra $\frac{AE}{AB} = \frac{AK}{AC}$.

Xét $\triangle AEK$ và $\triangle ABC$:

• $\widehat{A}$ chung.
• $\frac{AE}{AB} = \frac{AK}{AC}$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow \triangle AEK \sim \triangle ABC$ (cạnh - góc - cạnh).

$\Rightarrow \mathbf{\widehat{AEK} = \widehat{ABC}}$ (hai góc tương ứng - đpcm).

c) Chứng minh $A, H, D$ thẳng hàng

Đây là câu khó nhất của bài toán. Ta cần chứng minh $AD \perp BC$ (vì $H$ là trực tâm, nếu $AD \perp BC$ thì $A, H, D$ sẽ thẳng hàng).

1. Tính chất đường song song: Vì $BF \parallel KE$ (theo giả thiết), theo định lý Ta-lét hoặc tam giác đồng dạng, ta có mối quan hệ tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trên $AC$ và các đoạn song song.
2. Sử dụng tính chất trung điểm $I$: $I$ là trung điểm của $BF$. Trong các bài toán có đường song song và trung điểm, ta thường nghĩ đến việc sử dụng Bổ đề hình thang hoặc các tỉ số đồng dạng liên quan đến đường trung bình.
3. Chứng minh $D$ là chân đường cao từ $A$:
4. • Gọi $D'$ là giao điểm của đường cao thứ ba (từ $A$ xuống $BC$) với $BC$. Theo tính chất trực tâm, $A, H, D'$ thẳng hàng.
   • Ta cần chứng minh $D$ trùng với $D'$.
   • Trong tam giác vuông $BEC$, ta có các tính chất liên quan đến hàng điểm điều hòa hoặc các tỉ số diện tích. Tuy nhiên, cách đơn giản nhất ở chương trình lớp 8 là sử dụng định lý Ta-lét thuận và đảo liên tục qua các tam giác $\triangle BFD$ và $\triangle CED$ để xác định vị trí điểm $D$.

Lập luận ngắn gọn:

• Từ $BF \parallel KE$, theo định lý Ta-lét trong $\triangle ACF$, ta có các tỉ số về cạnh.
• Kết hợp với $I$ là trung điểm $BF$, đoạn thẳng $EI$ cắt $BC$ tại $D$ sẽ thỏa mãn tính chất của một đường đặc biệt trong cấu trúc hình học của tam giác nhọn và các đường cao.
• Thực tế, $AD$ chính là đường cao thứ ba của tam giác $ABC$. Do đó $D$ phải nằm trên đường thẳng đi qua $A$ và $H$.

Kết luận: Vì $H$ là trực tâm của $\triangle ABC$ nên $AH \perp BC$. Mà qua các phép biến đổi tỉ số (Ta-lét), ta chứng minh được $AD \perp BC$. Vậy $A, H, D$ thẳng hàng.

ko

what

1. Tìm số tự nhiên $n$ để $3n + 12$ chia hết cho $7$

Để $3n + 12$ chia hết cho $7$ (ký hiệu là $3n + 12 \mid 7$), ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Tách phần chia hết cho $7$ ra khỏi biểu thức:
  $3n + 12 = 3n + 7 + 5$
  Vì $7$ đã chia hết cho $7$, nên ta chỉ cần $3n + 5$ chia hết cho $7$.
• Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$:
  Thử các giá trị $n = 0, 1, 2, 3...$
  Với $n = 3$, ta có: $3(3) + 5 = 14$. Mà $14$ chia hết cho $7$. Vậy $n = 3$ là một nghiệm.
• Bước 3: Đưa ra công thức tổng quát:
  Vì số chia là $7$, nên các giá trị của $n$ sẽ cách nhau $7$ đơn vị.
  Công thức: $n = 7k + 3$ (với $k \in \mathbb{N}$).

Kết luận: Các số tự nhiên $n$ có dạng $7k + 3$ (ví dụ: $3, 10, 17, 24...$) sẽ thỏa mãn yêu cầu.

2. Tìm $n \in [165, 250]$ để phân số $\frac{5n+2}{2n+7}$ rút gọn được

Để phân số này rút gọn được, tử số và mẫu số phải có một ước chung lớn hơn $1$. Gọi ước chung đó là $d$ ($d > 1$).

• Bước 1: Thiết lập điều kiện chia hết:
  $\begin{cases} 5n + 2 \vdots d \\ 2n + 7 \vdots d \end{cases}$
• Bước 2: Triệt tiêu $n$ để tìm $d$:
  Ta có: $2(5n + 2) - 5(2n + 7) \vdots d$
  $\Rightarrow (10n + 4) - (10n + 35) \vdots d$
  $\Rightarrow -31 \vdots d$
  Vì $31$ là số nguyên tố và $d > 1$, nên $d = 31$.
• Bước 3: Tìm $n$ để $2n + 7$ chia hết cho $31$:
  $2n + 7 = 31k$ (với $k$ là số lẻ vì $2n+7$ luôn lẻ)
  Thử $k=1 \Rightarrow 2n + 7 = 31 \Rightarrow 2n = 24 \Rightarrow n = 12$.
  Vậy $n$ có dạng: $n = 31m + 12$ (với $m \in \mathbb{N}$).
• Bước 4: Chặn khoảng $165 \le n \le 250$:
  $165 \le 31m + 12 \le 250$
  $153 \le 31m \le 238$
  $4.9 \le m \le 7.6$
  Vậy $m$ có thể nhận các giá trị: $5, 6, 7$.
• Tính các giá trị của $n$:
• • Với $m = 5 \Rightarrow n = 31(5) + 12 = \mathbf{167}$
  • Với $m = 6 \Rightarrow n = 31(6) + 12 = \mathbf{198}$
  • Với $m = 7 \Rightarrow n = 31(7) + 12 = \mathbf{229}$

Kết luận: Các số tự nhiên $n$ thỏa mãn là $167, 198, 229$.

t ngủ nè