Chiều dài là \(25\) cm và chiều rộng là \(17\) cm

Kích thước của khung ảnh lớn: Với chiều rộng viền là \(x\), chiều dài và chiều rộng của khung ảnh sẽ là:

1. • Chiều dài: \(25 + 2 x\)
   • Chiều rộng: \(17 + 2 x\)
   • Diện tích của cả khung ảnh:
     \(A = \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right)\)
     Chúng ta cần phương trình này không vượt quá diện tích tối đa là \(513\) cm²:
     \(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) = 513\)
2. Giải phương trình:
   \(25 \cdot 17 + 50 x + 34 x + 4 x^{2} = 513\)
   \(425 + 84 x + 4 x^{2} = 513\)
   \(4 x^{2} + 84 x + 425 - 513 = 0\)
   \(4 x^{2} + 84 x - 88 = 0\)
   Giải phương trình bậc hai bằng công thức:
   \(x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}\)
   trong đó \(a = 1\), \(b = 21\), và \(c = - 22\):
   \(x = \frac{- 21 \pm \sqrt{2 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - 22 \left.\right)}}{2 \cdot 1}\)
   \(= \frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 88}}{2}\)
   \(= \frac{- 21 \pm \sqrt{529}}{2}\)
   \(= \frac{- 21 \pm 23}{2}\)
3. • Nghiệm 1:
     \(x = \frac{2}{2} = 1\)
   • Nghiệm 2:
     \(x=\frac{- 44}{2}=-22loại\)

Kết luận:

Vậy độ rộng viền khung ảnh tối đa mà bạn Hà có thể làm là \(x = 1\) cm.

a) Tính \(c o s ⁡ \alpha\)

1. Xác định hệ số a, b của các đường thẳng:
2. • Đường thẳng \(\Delta : 3 x + 4 y + 7 = 0\) => \(a_{1} = 3 , b_{1} = 4\)
   • Đường thẳng \(\Delta_{1} : 5 x - 12 y + 7 = 0\) => \(a_{2} = 5 , b_{2} = - 12\)
3. Sử dụng công thức tính \(cos ⁡\) của góc giữa hai đường thẳng:
   \(c o s ⁡ \alpha = \frac{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}}{\sqrt{\left(\right. a_{1}^{2} + b_{1}^{2} \left.\right) \left(\right. a_{2}^{2} + b_{2}^{2} \left.\right)}}\)
4. Thay số và tính toán:
   \(c o s ⁡ \alpha = \frac{3 \cdot 5 + 4 \cdot \left(\right. - 12 \left.\right)}{\sqrt{\left(\right. 3^{2} + 4^{2} \left.\right) \left(\right. 5^{2} + \left(\right. - 12 \left.\right)^{2} \left.\right)}}\)
   \(= \frac{15 - 48}{\sqrt{\left(\right. 9 + 16 \left.\right) \left(\right. 25 + 144 \left.\right)}}\)
   \(= \frac{- 33}{\sqrt{25 \cdot 169}} = \frac{- 33}{65}\)

Kết quả a:

\(c o s ⁡ \alpha = \frac{- 33}{65}\)

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với \(\Delta\) và tiếp xúc \(\left(\right. C \left.\right)\)

1. Tính hệ số góc của đường thẳng \(\Delta\):
   \(Hệsốgoccủaduong\th angla;\Delta=-\frac{a_{1}}{b_{1}}=-\frac{3}{4}\)
2. Hệ số góc của đường thẳng vuông góc với \(\Delta\):
   \(m_{1} = \frac{4}{3}\)
3. Viết phương trình dạng tổng quát:
   \(y - y_{0} = m_{1} \left(\right. x - x_{0} \left.\right)\)
   với \(\left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\) là điểm tiếp xúc. Điểm tiếp xúc sẽ nằm trên đường tròn, nên ta cần tìm điểm đó.
4. Tính tọa độ tâm và bán kính:
   Tâm \(T \left(\right. 3 , - 2 \left.\right)\) và bán kính \(R = 6\) (vì \(\left(\right. x - 3 \left.\right)^{2} + \left(\right. y + 2 \left.\right)^{2} = 36\))
5. Phương trình đường thẳng tiếp xúc tại điểm \(P\) có tọa độ \(\left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\) sẽ có dạng:
   \(\left(\right. y + 2 \left.\right) = \frac{4}{3} \left(\right. x - 3 \left.\right)\)
   Thay \(y\) vào phương trình đường tròn \(\left(\right. C \left.\right)\):
   \(\left(\right. x - 3 \left.\right)^{2} + \left(\left(\right. \left(\right. \frac{4}{3} \left(\right. x - 3 \left.\right) - 2 \left.\right) \left.\right)\right)^{2} = 36\)
6. Giải phương trình để tìm \(x_{0}\) và \(y_{0}\):
   Giải phương trình trên sẽ cho ta điểm tiếp xúc \(\left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\).
7. Từ tọa độ \(P \left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\), viết phương trình đường thẳng vuông góc với \(\Delta\) và có dạng:
   \(y - y_{0} = \frac{4}{3} \left(\right. x - x_{0} \left.\right)\)

Để tam thức bậc hai luôn dương với mọi \(x\), cần:

• Hệ số \(a > 0\) (đúng vì \(a = 1\))
• \(\Delta < 0\)

Câu 1:

a)

Ta có:

\(\Delta = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m + 5 \left.\right)\) \(= m^{2} - 2 m + 1 - 4 m - 20 = m^{2} - 6 m - 19\)

Điều kiện:

\(m^{2} - 6 m - 19 < 0\)

Giải bất phương trình:

\(\Rightarrow m = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 76}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{112}}{2} = 3 \pm 2 \sqrt{7}\)

Suy ra:

\(3 - 2 \sqrt{7} < m < 3 + 2 \sqrt{7}\)

b)

\(\sqrt{2 x^{2} - 8 x + 4} = x - 2\)

Điều kiện:

\(x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2\)

Bình phương hai vế:

\(2 x^{2} - 8 x + 4 = \left(\right. x - 2 \left.\right)^{2} = x^{2} - 4 x + 4\)

Chuyển vế:

\(2 x^{2} - 8 x + 4 - x^{2} + 4 x - 4 = 0\) \(x^{2} - 4 x = 0 \Rightarrow x \left(\right. x - 4 \left.\right) = 0\) \(\Rightarrow x=0hoặcx=4\)

Kiểm tra điều kiện \(x \geq 2\):

• \(x = 0\) (loại)
• \(x = 4\) (thoả mãn)
• Vậy x bằng 4

\(\)\(\) \(\) \(\)