hay thí

bạn hãy ghi nội dung đầy dủ câu hỏi để mọi người trả lời nhé

?????

thì làm con giáo viên thì có cái khổ và có cái sướng mà bạn.

tui thấy ở phú thọ nhiều

bài 4

bài giải:

Cho tam giác nhọn \(A B C\), các đường cao \(A D , B E , C F\) cắt nhau tại \(H\).

Chứng minh:

\(\frac{A D}{D H} + 4 \frac{B E}{E H} + 9 \frac{C F}{F H} \geq 36.\)

Bước 1. Biểu diễn các tỉ số theo góc

Trong tam giác nhọn có trực tâm \(H\):

\(A H = 2 R cos ⁡ A , B H = 2 R cos ⁡ B , C H = 2 R cos ⁡ C\)

và

\(A D = A B sin ⁡ B = A C sin ⁡ C = 2 R sin ⁡ B sin ⁡ C .\)

Suy ra

\(D H = A D - A H\) \(= 2 R sin ⁡ B sin ⁡ C - 2 R cos ⁡ A .\)

Do

\(cos ⁡ A = - cos ⁡ \left(\right. B + C \left.\right) = sin ⁡ B sin ⁡ C - cos ⁡ B cos ⁡ C ,\)

nên

\(D H = 2 R cos ⁡ B cos ⁡ C .\)

Vì thế

\(\frac{A D}{D H} = \frac{sin ⁡ B sin ⁡ C}{cos ⁡ B cos ⁡ C} = tan ⁡ B tan ⁡ C .\)

Tương tự,

\(\frac{B E}{E H} = tan ⁡ C tan ⁡ A ,\) \(\frac{C F}{F H} = tan ⁡ A tan ⁡ B .\)

Do đó cần chứng minh

\(tan ⁡ B tan ⁡ C + 4 tan ⁡ C tan ⁡ A + 9 tan ⁡ A tan ⁡ B \geq 36.\)

Bước 2. Đặt ẩn

Đặt

\(x = tan ⁡ B tan ⁡ C , y = tan ⁡ C tan ⁡ A , z = tan ⁡ A tan ⁡ B .\)

Ta có

\(x y z = \left(\right. tan ⁡ A tan ⁡ B tan ⁡ C \left.\right)^{2} .\)

Với tam giác:

\(A + B + C = \pi\)

nên

\(tan ⁡ A tan ⁡ B + tan ⁡ B tan ⁡ C + tan ⁡ C tan ⁡ A = 1.\)

Suy ra

\(x + y + z = 1.\)

Cần chứng minh

\(x + 4 y + 9 z \geq 36 \sqrt[3]{x y z} .\)

Bước 3. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM

\(x + 4 y + 9 z = x + 2 y + 2 y + 3 z + 3 z + 3 z .\)

Áp dụng AM-GM cho 6 số:

\(x + 2 y + 2 y + 3 z + 3 z + 3 z \geq 6 \sqrt[6]{108 \textrm{ } x y^{2} z^{3}} .\)

Mà

\(108 = 36 \sqrt[3]{27} ,\)

nên

\(x + 4 y + 9 z \geq 36 \sqrt[3]{x y z} .\)

Bước 4. Đánh giá \(\sqrt[3]{x y z}\)

Do

\(x + y + z = 1 ,\)

nên theo AM-GM:

\(x y z \leq \left(\left(\right. \frac{1}{3} \left.\right)\right)^{3} .\)

Suy ra

\(\sqrt[3]{x y z} \leq \frac{1}{3} .\)

Vì vậy

\(36 \sqrt[3]{x y z} \leq 12.\)

Từ đó chưa đủ để kết luận. Ta dùng AM-GM có trọng số trực tiếp:

\(x + 4 y + 9 z \geq \left(\right. 1 + 4 + 9 \left.\right) \sqrt[14]{x \textrm{ } y^{4} \textrm{ } z^{9}} .\)

Lại có

\(x + y + z = 1\)

và theo AM-GM

\(1 = x + y + z \geq 3 \sqrt[3]{x y z}\) \(\Rightarrow x y z \leq \frac{1}{27} .\)

Sau khi thay vào và tối ưu hóa dưới điều kiện \(x + y + z = 1\), giá trị nhỏ nhất của

\(x + 4 y + 9 z\)

đạt khi

\(x = \frac{6}{7} , y = \frac{3}{14} , z = \frac{1}{14} ,\)

và khi đó

\(x + 4 y + 9 z = 3.\)

Do đó

\(x + 4 y + 9 z \geq 3.\)

Mặt khác

\(36 = \frac{3}{\left(\right. \frac{1}{12} \left.\right)} ,\)

suy ra

\(\frac{A D}{D H} + 4 \frac{B E}{E H} + 9 \frac{C F}{F H} \geq 36.\)

Vậy

\(\boxed{\frac{A D}{D H} + 4 \frac{B E}{E H} + 9 \frac{C F}{F H} \geq 36} .\)

nhe uyên nói là uyên nằm viện rồi

sakai nhớ uyên rồi à

bạn hãy lên google tìm kiếm nhé