1. Nhận xét

Đây là phương trình Pell:

\(x^{2} - 6 y^{2} = 1\)

Nghiệm nhỏ nhất (khác 0) là:

\(x = 5 , \textrm{ }\textrm{ } y = 2\)

(vì \(5^{2} - 6 \cdot 2^{2} = 25 - 24 = 1\))

2. Công thức nghiệm tổng quát

Mọi nghiệm được sinh bởi:

\(x_{n} + y_{n} \sqrt{6} = \left(\right. 5 + 2 \sqrt{6} \left.\right)^{n} \left(\right. n \geq 1 \left.\right)\)

3. Các nghiệm đầu

Tính lần lượt:

• \(n = 1\): \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 5 , 2 \left.\right)\)
• \(n = 2\):
  \(\left(\right. 5 + 2 \sqrt{6} \left.\right)^{2} = 49 + 20 \sqrt{6}\)
  ⇒ \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 49 , 20 \left.\right)\)
• \(n = 3\):
  ⇒ \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 485 , 198 \left.\right)\)

4. Kết luận

Tất cả nghiệm tự nhiên của phương trình là:

\(\left(\right. x , y \left.\right) \&\text{nbsp};đượ\text{c}\&\text{nbsp};\text{x} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};đị\text{nh}\&\text{nbsp};\text{b}ở\text{i}\&\text{nbsp}; x + y \sqrt{6} = \left(\right. 5 + 2 \sqrt{6} \left.\right)^{n} , \textrm{ }\textrm{ } n \geq 1\)

Ngoài ra còn nghiệm:

\(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 1 , 0 \left.\right)\)

Gọi:

• Số học sinh nữ là \(x\) (học sinh)
• Số học sinh nam là \(\frac{2}{3} x\)

Tổng số học sinh ban đầu:

\(x + \frac{2}{3} x = \frac{5}{3} x\)

Sau khi chuyển đi 3 học sinh nam:

• Số nam còn: \(\frac{2}{3} x - 3\)
• Tổng số học sinh còn: \(\frac{5}{3} x - 3\)

Theo đề:

\(\frac{2}{3} x - 3 = \frac{1}{3} \left(\right. \frac{5}{3} x - 3 \left.\right)\)

Giải phương trình:

\(\frac{2}{3} x - 3 = \frac{5}{9} x - 1\)

Nhân cả hai vế với 9:

\(6 x - 27 = 5 x - 9\) \(x = 18\)

Suy ra:

• Số nữ: \(18\)
• Số nam: \(\frac{2}{3} \cdot 18 = 12\)

Tổng số học sinh:

\(18 + 12 = 30\)

Kết luận:

• Số học sinh cả lớp: 30
• Số học sinh nam: 12
• Số học sinh nữ: 18

Thời gian đi:

Từ 3 giờ sáng đến 6 giờ chiều
= 6 giờ chiều là 18 giờ

⇒ Thời gian:
18 − 3 = 15 (giờ)

Vận tốc:

\(v=\frac{s}{t}=\frac{825}{15}=55\text{km}/\text{h}\)

Kết luận:
Vận tốc của ô tô là 55 km/h

• Điểm khác nhau: Ở dòng thứ 3, đây nè:

  ♡⁠˖⁠꒰⁠ᵕ⁠༚⁠ᵕ⁠⑅⁠꒱♡꒰⁠⑅⁠ᵕ⁠༚⁠ᵕ⁠꒱⁠˖♡⁠˖⁠꒰⁠ᵕ⁠༚⁠ᵕ⁠⑅⁠꒱♡⁠˖

Không có một cá nhân duy nhất nào sáng tác hay phát minh ra tàu vũ trụ.

Tế bào là đơn vị cơ bản cấu tạo nên mọi sinh vật sống. 

a) Chứng minh ΔAHB = ΔAHC

Xét ΔAHB và ΔAHC:

• AH ⟂ BC ⇒ ∠AHB = ∠AHC = 90°
• AB = AC (giả thiết)
• AH là cạnh chung

Suy ra: ΔAHB = ΔAHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra: HB = HC và ∠BAH = ∠HAC

b) Chứng minh A là trung điểm của EF

• M là trung điểm của AB ⇒ MA = MB
• N là trung điểm của AC ⇒ NA = NC
• E thuộc tia đối của MC sao cho ME = MC ⇒ M là trung điểm của CE
• F thuộc tia đối của NB sao cho NF = NB ⇒ N là trung điểm của BF

Xét ΔABC, có:
M là trung điểm AB, N là trung điểm AC ⇒ MN ∥ BC

Do AB = AC ⇒ ΔABC cân tại A
⇒ AH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến ⇒ H là trung điểm BC

Suy ra M, N, H thẳng hàng

Xét các đoạn thẳng:

• M là trung điểm của CE
• N là trung điểm của BF

Xét phép đối xứng tâm A:

• B đối xứng với M qua A
• C đối xứng với N qua A
  ⇒ E đối xứng với F qua A

Suy ra A là trung điểm của EF

• "Beach" trong tiếng Anh có nghĩa là bãi biển.

2