a, Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ có:

$\widehat{BAC} = \widehat{BHA} = 90^\circ$

$\widehat{B}$ là góc chung

$\Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta HBA$ (g.g)

b) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HAC$ có:

$\widehat{BAC} = \widehat{AHC} = 90^\circ$

$\widehat{C}$ là góc chung

$\Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta HAC$ (g.g)

Suy ra: $\frac{AC}{HC} = \frac{BC}{AC}$

$\Rightarrow AC^2 = HC \cdot BC$

Bài 15

Ta có: $f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 2 \Rightarrow c = 2$

Với $f(1) = 7 \Rightarrow a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 2 = 7 \Rightarrow a + b = 5$ (1)

Với $f(-2) = -14 \Rightarrow a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + 2 = -14$

$\Rightarrow 4a - 2b = -16 \Rightarrow 2a - b = -8$ (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế:

$(a + b) + (2a - b) = 5 + (-8)$

$3a = -3 \Rightarrow a = -1$

Thay $a = -1$ vào (1): $-1 + b = 5 \Rightarrow b = 6$

Bài 16

a) Ta có: $F(x) - H(x) = G(x) \Rightarrow H(x) = F(x) - G(x)$

$H(x) = (1 - x + x^2 - ... + x^{100}) - (99x^{99} - 99x^{98} + ... + 99x - 99)$

$H(x) = x^{100} - 100x^{99} + 100x^{98} - 100x^{97} + ... - 100x + 100$

b) Thay $100 = 99 + 1$ vào đa thức $H(x)$:

$H(99) = 99^{100} - (99 + 1)99^{99} + (99 + 1)99^{98} - ... - (99 + 1)99 + 100$

$H(99) = 99^{100} - 99^{100} - 99^{99} + 99^{99} + 99^{98} - ... - 99^2 - 99 + 100$

$H(99) = -99 + 100$

$H(99) = 1$

Bài 17

Vì $x = -1$ là nghiệm của đa thức $f(x)$ nên:

$f(-1) = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) - 2 = 0$

$\Rightarrow a - b - 2 = 0 \Rightarrow a - b = 2$ (1)

Vì $x = 2$ là nghiệm của đa thức $f(x)$ nên:

$f(2) = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 - 2 = 0$

$\Rightarrow 4a + 2b - 2 = 0 \Rightarrow 4a + 2b = 2 \Rightarrow 2a + b = 1$ (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế:

$(a - b) + (2a + b) = 2 + 1$

$3a = 3 \Rightarrow a = 1$

Thay $a = 1$ vào (1): $1 - b = 2 \Rightarrow b = -1$

Bài 18

Ta có các giá trị của đa thức:

$f(1) = 2 \cdot 1^2 + a \cdot 1 + 4 = 6 + a$

$g(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 - b = 4 - 10 - b = -6 - b$

$f(-1) = 2 \cdot (-1)^2 + a \cdot (-1) + 4 = 6 - a$

$g(5) = 5^2 - 5 \cdot 5 - b = 25 - 25 - b = -b$

Theo đề bài:

$f(1) = g(2) \Rightarrow 6 + a = -6 - b \Rightarrow a + b = -12$ (3)

$f(-1) = g(5) \Rightarrow 6 - a = -b \Rightarrow a - b = 6$ (4)

Cộng (3) và (4) vế theo vế:

$(a + b) + (a - b) = -12 + 6$

$2a = -6 \Rightarrow a = -3$

Thay $a = -3$ vào (4): $-3 - b = 6 \Rightarrow b = -9$

Bài 19

Ta có giá trị của các đa thức tại các điểm đã cho:

$g(2) = 2^2 - 2 + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$

$g(1) = 1^2 - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$

$f(1) = a \cdot 1 + b = a + b$

$f(-2) = a \cdot (-2) + b = -2a + b$

Theo đề bài:

$f(1) = g(2) \Rightarrow a + b = 3$ (1)

$f(-2) = g(1) \Rightarrow -2a + b = 1$ (2)

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế:

$(a + b) - (-2a + b) = 3 - 1$

$3a = 2 \Rightarrow a = \frac{2}{3}$

Thay $a = \frac{2}{3}$ vào (1): $\frac{2}{3} + b = 3 \Rightarrow b = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$

Bài 20

Thu gọn hai đa thức $f(x)$ và $g(x)$:

$f(x) = ax^3 + 4x^3 - 4x + 8 = (a + 4)x^3 - 4x + 8$

$g(x) = x^3 - 4bx^2 - 4x + c - 3$

Để $f(x) = g(x)$ với mọi $x$ thì các hệ số của các lũy thừa cùng bậc phải bằng nhau:

Hệ số của $x^3$: $a + 4 = 1 \Rightarrow a = -3$

Hệ số của $x^2$: $0 = -4b \Rightarrow b = 0$

Hệ số của $x$: $-4 = -4$ (luôn đúng)

Hệ số tự do: $8 = c - 3 \Rightarrow c = 11$

Gọi số chưa biết trên tấm thẻ thứ ba là $x$ ($x$ có hai chữ số).

Khi xếp 3 tấm thẻ $a, b, c$ cạnh nhau, ta lập được $6$ số có $6$ chữ số là: $abc, acb, bac, bca, cab, cba$.

Mỗi tấm thẻ xuất hiện ở vị trí "hàng trăm nghìn và hàng chục nghìn" 2 lần, vị trí "hàng nghìn và hàng trăm" 2 lần, vị trí "hàng chục và hàng đơn vị" 2 lần.

Ta có tổng các số lập được là:

$2 \cdot (a+b+c) \cdot 10000 + 2 \cdot (a+b+c) \cdot 100 + 2 \cdot (a+b+c) \cdot 1 = 1818180$

$2 \cdot (a+b+c) \cdot (10000 + 100 + 1) = 1818180$

$2 \cdot (a+b+c) \cdot 10101 = 1818180$

$2 \cdot (a+b+c) = 1818180 : 10101$

$2 \cdot (a+b+c) = 180$

$a + b + c = 90$

Thay $a = 15, b = 27$ vào biểu thức $a + b + c = 90$, ta có:

$15 + 27 + x = 90$

$42 + x = 90$

$x = 48$

Đáp số: 48

Số đường thẳng vẽ được qua $m$ điểm không thẳng hàng là: $\frac{m(m-1)}{2}$

Số đường thẳng vẽ được qua $m+1$ điểm không thẳng hàng là: $\frac{(m+1)m}{2}$

Theo đề bài, khi tăng thêm 1 điểm thì số đường thẳng tăng thêm 10, ta có:

$\frac{(m+1)m}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = 10$

$\frac{m^2 + m - (m^2 - m)}{2} = 10$

$\frac{2m}{2} = 10$

$m = 10$

Số đường thẳng vẽ được với $m = 10$ điểm ban đầu là:

$\frac{10(10-1)}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$ (đường thẳng)

Đáp số: 45 đường thẳng

Bài 8

Gọi $x$ là số công nhân cần thiết để hoàn thành công việc trong $12$ ngày ($x \in \mathbb{N}^*$).

Vì số công nhân và thời gian hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

$12x = 16 \cdot 36$

$12x = 576$

$x = 576 : 12$

$x = 48$

Số công nhân cần tăng thêm là:

$48 - 16 = 32$ (công nhân)

Đáp số: $32$ công nhân

Bài 9

Gọi $y$ là thời gian hoàn thành công việc khi có $40$ công nhân ($y > 0$).

Vì số công nhân và thời gian hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

$40y = 30 \cdot 8$

$40y = 240$

$y = 240 : 40$

$y = 6$

Thời gian hoàn thành công việc giảm đi số giờ là:

$8 - 6 = 2$ (giờ)

Đáp số: $2$ giờ

Bài 10

Gọi $x$ là số công nhân cần để đắp xong đoạn đê trong $8$ ngày ($x \in \mathbb{N}^*$).

Vì số công nhân và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

$8x = 36 \cdot 12$

$8x = 432$

$x = 432 : 8$

$x = 54$

Đáp số: $54$ công nhân

Bài 11

Gọi $y$ là thời gian $5$ máy cày hoàn thành công việc ($y > 0$).

Vì số máy cày và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có:

$5y = 3 \cdot 30$

$5y = 90$

$y = 90 : 5$

$y = 18$

Đáp số: $18$ giờ

Bài 12

Gọi $x$ là số mét vải loại 2 mua được ($x > 0$). Gọi $g$ là giá tiền $1$m vải loại 2.

Vì cùng một số tiền, chiều dài vải và giá tiền $1$m là hai đại lượng tỉ lệ nghịch:

$x \cdot g = 51 \cdot (85\% \cdot g)$

$x = 51 \cdot 0,85$

$x = 43,35$

Đáp số: $43,35$ m

Bài 13

Gọi $a, b, c$ lần lượt là số máy của $3$ đội ($a, b, c \in \mathbb{N}^*$).

Theo đề bài ta có $a - b = 2$.

Vì số máy và thời gian hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên:

$4a = 6b = 8c$ hay $\frac{a}{\frac{1}{4}} = \frac{b}{\frac{1}{6}} = \frac{c}{\frac{1}{8}}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

$\frac{a}{\frac{1}{4}} = \frac{b}{\frac{1}{6}} = \frac{a-b}{\frac{1}{4}-\frac{1}{6}} = \frac{2}{\frac{1}{12}} = 24$

$a = 24 \cdot \frac{1}{4} = 6$

$b = 24 \cdot \frac{1}{6} = 4$

$c = 24 \cdot \frac{1}{8} = 3$

Đáp số: Đội 1: $6$ máy; Đội 2: $4$ máy; Đội 3: $3$ máy

Ta có: $AN = 2 \times NM$

Vì tam giác $NAB$ và tam giác $NMB$ có chung chiều cao hạ từ $B$ xuống $AM$ và đáy $AN = 2 \times NM$ nên:

$S_{NAB} = 2 \times S_{NMB}$

Diện tích tam giác $NMB$ là:

$14 : 2 = 7$ (dm$^2$)

Vì $MB = \frac{3}{4} BC$ nên $MC = \frac{1}{4} BC$, suy ra $MB = 3 \times MC$

Vì tam giác $NMB$ và tam giác $NMC$ có chung chiều cao hạ từ $N$ xuống $BC$ và đáy $MB = 3 \times MC$ nên:

$S_{NMB} = 3 \times S_{NMC}$

Diện tích tam giác $NMC$ là:

$\frac{7}{3}$ (dm$^2$)

Đáp số: $\frac{7}{3}$ dm$^2$

Đổi: 1 giờ chiều = 13 giờ

Thời gian ô tô đi từ A đến B là: 13 giờ - 9 giờ 15 phút = 3 giờ 45 phút

Đổi: 3 giờ 45 phút = 3,75 giờ

Quãng đường AB là: $40 \cdot 3,75 = 150$ (km)

Đáp số: 150 km

Ta có: $\frac{1}{2} \cdot (\frac{4}{3} + \frac{2}{5}) - \frac{3}{4}$

$= \frac{1}{2} \cdot (\frac{20}{15} + \frac{6}{15}) - \frac{3}{4}$

$= \frac{1}{2} \cdot \frac{26}{15} - \frac{3}{4}$

$= \frac{13}{15} - \frac{3}{4}$

$= \frac{52}{60} - \frac{45}{60}$

$= \frac{7}{60}$

Xét $\Delta DHC$ và $\Delta DKC$ có:

$\widehat{DHC} = \widehat{DKC} = 90^\circ$

$CD$ là cạnh chung

$\widehat{HCD} = \widehat{KCD}$ (do $CD$ là tia phân giác $\widehat{ACB}$)

$\Rightarrow \Delta DHC = \Delta DKC$ (cạnh huyền - góc nhọn)

Trong $\Delta DKC$ vuông tại $K$, ta có $DK < DC$ (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền).

Mà $DH = DK$ (do $\Delta DHC = \Delta DKC$).

$\Rightarrow DH < DC$.

Xét $\Delta ADC$ có $\widehat{DAC} = 90^\circ - \widehat{C}$ và $\widehat{DCA} = \frac{\widehat{C}}{2}$.

Vì $AB < AC$ nên $\widehat{B} > \widehat{C}$. Trong $\Delta AHC$ vuông tại $H$, $\widehat{HAC} = 90^\circ - \widehat{C}$.

Trong $\Delta ADC$, góc ngoài tại đỉnh $D$ là $\widehat{ADH} = \widehat{DAC} + \widehat{DCA}$.

Xét $\Delta DKC = \Delta DHC \Rightarrow CH = CK$.

Xét $\Delta EHC$ và $\Delta EKC$ có: $CH = CK$, $\widehat{HCE} = \widehat{KCE}$, $CE$ chung $\Rightarrow \Delta EHC = \Delta EKC$ (c.g.c).

$\Rightarrow EH = EK \Rightarrow \Delta EHK$ cân tại $E$.