Tổng số điểm Mai ghi được sau 4 vòng thi đầu tiên là:

$5 \times 4 = 20$ (điểm)

Tổng số điểm Mai ghi được sau cả 5 vòng thi là:

$6 \times 5 = 30$ (điểm)

Số điểm Mai ghi được ở vòng thi thứ năm là:

$30 - 20 = 10$ (điểm)

Đáp số: 10 điểm

a, Bán kính ngoài của cống là:

$R = 2 : 2 = 1$ m

Bán kính trong của cống là:

$r = 1 - 0,2 = 0,8$ m

Thể tích bê tông cần có để làm 1 cống là:

$V = 3,14 \cdot 8 \cdot (1^2 - 0,8^2)$

$V = 3,14 \cdot 8 \cdot 0,36$

$V = 9,0432$ $m^3$

b) Đổi 1km = 1000m. Số lượng cống cần dùng cho 1km đường là:

$(1000 : 20) \cdot 30 = 1500$ cống

Tổng thể tích bê tông cần dùng cho 1500 cống là:

$1500 \cdot 9,0432 = 13564,8$ $m^3$

Số tiền mua bê tông là:

$13564,8 \cdot 0,8 = 10851,84$ triệu đồng

Tổng số tiền mua sắt cho 1500 cống là:

$1500 \cdot 5,2 = 7800$ triệu đồng

Tổng số tiền vật tư làm cống thoát nước cho 1km đường là:

$10851,84 + 7800 = 18651,84$ triệu đồng

$Q = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x} + \frac{x + y}{y}$ (vì $x + y = 1$)

$Q = 1 + \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + 1 = 2 + \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $\frac{x}{y}$ và $\frac{y}{x}$: $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 2$

Suy ra: $Q \geq 2 + 2 = 4$

Dấu "=" xảy ra khi $x = y$. Kết hợp $x + y = 1 \Rightarrow x = y = \frac{1}{2}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $Q$ là 4 khi $x = y = \frac{1}{2}$.

a, Xét $\Delta MIQ$ và $\Delta NIP$, ta có:

$MI = NI$ (vì $I$ là trung điểm của $MN$)

$\widehat{MIQ} = \widehat{NIP}$ (hai góc đối đỉnh)

$QI = PI$ (vì $I$ là trung điểm của $PQ$)

Suy ra: $\Delta MIQ = \Delta NIP$ (cạnh - góc - cạnh)

b)Từ $\Delta MIQ = \Delta NIP$ (chứng minh ở câu a), ta suy ra:

$\widehat{IMQ} = \widehat{INP}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên: $MQ // NP$

Thay lần lượt các giá trị $x$ vào đa thức $Q(x) = ax^2 + bx + c$, ta có hệ phương trình:

$Q(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c = 6$ (1)

$Q(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c = 3$ (2)

$Q(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = 0$ (3)

Lấy (3) trừ (1) vế theo vế:

$(a + b + c) - (a - b + c) = 0 - 6$

$2b = -6 \Rightarrow b = -3$

Thay $b = -3$ vào (1) và (2):

$a - (-3) + c = 6 \Rightarrow a + c = 3$ (4)

$4a + 2(-3) + c = 3 \Rightarrow 4a + c = 9$ (5)

Lấy (5) trừ (4) vế theo vế:

$(4a + c) - (a + c) = 9 - 3$

$3a = 6 \Rightarrow a = 2$

Thay $a = 2$ vào (4):

$2 + c = 3 \Rightarrow c = 1$

Vậy các hệ số là $a = 2; b = -3; c = 1$.

Đa thức cần tìm là: $Q(x) = 2x^2 - 3x + 1$.

Gọi $R$ (cm) là bán kính của chiếc quạt và $n$ là số đo độ của góc $AOB$ ($0 < n < 360$).

Độ dài cung của chiếc quạt là: $l = \frac{\pi R n}{180}$

Chu vi của chiếc quạt là $80$ cm nên ta có:

$2R + l = 80 \Rightarrow l = 80 - 2R$

Diện tích của chiếc quạt là:

$S = \frac{l \cdot R}{2}$

$S = \frac{(80 - 2R) \cdot R}{2}$

$S = \frac{80R - 2R^2}{2}$

$S = 40R - R^2$

$S = -(R^2 - 40R + 400) + 400$

$S = -(R - 20)^2 + 400$

Vì $-(R - 20)^2 \le 0$ với mọi $R$, nên $S \le 400$.

Diện tích $S$ lớn nhất bằng $400$ cm$^2$ khi $R - 20 = 0 \Rightarrow R = 20$ (cm).

Khi $R = 20$, ta có:

$l = 80 - 2 \cdot 20 = 40$ (cm).

Thay $l$ và $R$ vào công thức, ta được:

$40 = \frac{\pi \cdot 20 \cdot n}{180}$

$40 = \frac{\pi \cdot n}{9}$

$n = \frac{40 \cdot 9}{\pi} = \frac{360}{\pi} \approx 114,6^\circ$

Gọi phương trình đường thẳng $d$ cần tìm có dạng: $y = ax + b$

Vì $d$ đi qua điểm $M(3;3)$ nên ta có:

$3 = 3a + b$

$\Rightarrow b = 3 - 3a$ (1)

Khi đó phương trình đường thẳng $d$ trở thành: $y = ax + 3 - 3a$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $d$ là:

$\frac{x^2}{3} = ax + 3 - 3a$

$\Leftrightarrow x^2 - 3ax - 9 + 9a = 0$ (*)

Để $d$ tiếp xúc với $(P)$ thì phương trình (*) phải có nghiệm kép.

Điều kiện là $\Delta = 0$:

$\Delta = (-3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9 + 9a) = 0$

$9a^2 + 36 - 36a = 0$

$a^2 - 4a + 4 = 0$

$(a - 2)^2 = 0$

$a = 2$

Thay $a = 2$ vào (1) ta được:

$b = 3 - 3 \cdot 2 = -3$

Vậy phương trình đường thẳng $d$ là: $y = 2x - 3$

b, Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $d$ là:$mx^2 = -3x + 1$$\Leftrightarrow mx^2 + 3x - 1 = 0$ ()

Để $d$ và $(P)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A, B$ nằm cùng phía đối với trục tung thì phương trình () phải có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ cùng dấu và $x_1, x_2 \neq 0$.

Điều kiện để có hai nghiệm phân biệt cùng dấu là:$\begin{cases} m \neq 0 \\ \Delta > 0 \\ P > 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 0 \\ 3^2 - 4 \cdot m \cdot (-1) > 0 \\ \frac{-1}{m} > 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} m \neq 0 \\ 9 + 4m > 0 \\ m < 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} m > \frac{-9}{4} \\ m < 0 \end{cases}$

Vậy $\frac{-9}{4} < m < 0$ là các giá trị cần tìm.

a, Vì đường thẳng $d'$ song song với đường thẳng $d: y = -3x + 1$ nên $d'$ có dạng:$y = -3x + b$ ($b \neq 1$)

Do $M(1; 2)$ thuộc $d'$ nên ta thay $x = 1, y = 2$ vào phương trình trên:$2 = -3 \cdot 1 + b$$2 = -3 + b$$b = 5$ (thỏa mãn điều kiện $b \neq 1$)

Vậy phương trình đường thẳng $d'$ là: $y = -3x + 5$

c, Trong $\Delta ABH$, vì $BE$ là tia phân giác của $\widehat{ABH}$ nên theo tính chất đường phân giác ta có:$\frac{HE}{EA} = \frac{BH}{BA}$ (1)

Trong $\Delta ABC$, vì $BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên theo tính chất đường phân giác ta có:$\frac{AD}{DC} = \frac{BA}{BC}$ (2)

Từ câu a, ta có $\Delta ABC \sim \Delta HBA \Rightarrow \frac{BA}{BC} = \frac{BH}{BA}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:$\frac{HE}{EA} = \frac{AD}{DC}$