. Phân tích đề bài

• Kích thước phần trong khung: \(17\text{ cm} \times 25\text{ cm}\).
• Độ rộng viền xung quanh: \(x\text{ (cm)}\) (điều kiện: \(x > 0\)).
• Kích thước cả khung ảnh sẽ là:
• • Chiều rộng: \(17 + 2x\text{ (cm)}\)
  • Chiều dài: \(25 + 2x\text{ (cm)}\)
• Diện tích cả khung ảnh tối đa là \(513\text{ cm}^2\).

2. Thiết lập bất phương trình

Diện tích toàn bộ khung ảnh được tính bằng công thức:
\((17+2x)(25+2x)\le 513\)

Khai triển vế trái:
\(425+34x+50x+4x^{2}\le 513\)\(4x^{2}+84x+425-513\le 0\)\(4x^{2}+84x-88\le 0\)

3. Giải bất phương trình

Chia cả hai vế cho \(4\):
\(x^{2}+21x-22\le 0\)

Phân tích đa thức thành nhân tử:
\((x-1)(x+22)\le 0\)

Nghiệm của tam thức bậc hai là \(x = 1\) và \(x = -22\). Vì hệ số của \(x^{2}\) dương nên tập nghiệm là:
\(-22\le x\le 1\)

Kết hợp với điều kiện thực tế \(x > 0\), ta có: \(0 < x \le 1\).

Kết luận

Độ rộng viền khung ảnh tối đa là \(1\text{ cm}\).\(\)

Tính \(\cos \alpha\) giữa \(\Delta \) và \(\Delta _{1}\)

1. Xác định vectơ pháp tuyến:
2. • Đường thẳng \(\Delta: 3x + 4y + 7 = 0\) có \(\vec{n_{\Delta}} = (3; 4)\).
   • Đường thẳng \(\Delta_1: 5x - 12y + 7 = 0\) có \(\vec{n_{\Delta_1}} = (5; -12)\).
3. Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng:
   \(\cos \alpha =\frac{|\vec{n_{\Delta }}\cdot \vec{n_{\Delta _{1}}}|}{|\vec{n_{\Delta }}|\cdot |\vec{n_{\Delta _{1}}}|}=\frac{|3\cdot 5+4\cdot (-12)|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}\cdot \sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}}\)\(\cos \alpha =\frac{|15-48|}{5\cdot 13}=\frac{|-33|}{65}=\frac{\mathbf{33}}{\mathbf{65}}\)

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với \(\Delta \) và tiếp xúc với \((C)\)

1. Phân tích đường tròn \((C)\):
2. • Phương trình: \((x-3)^2 + (y+2)^2 = 36\).
   • Tâm \(I(3; -2)\), bán kính \(R = \sqrt{36} = 6\).
3. Gọi đường thẳng cần tìm là \(d\):
4. • Vì \(d \perp \Delta\) (\(3x + 4y + 7 = 0\)), nên phương trình \(d\) có dạng: \(4x - 3y + c = 0\).
5. Điều kiện tiếp xúc:
6. • Đường thẳng \(d\) tiếp xúc với \((C)\) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm \(I\) đến \(d\) bằng bán kính \(R\):
     \(d(I,d)=R\Leftrightarrow \frac{|4\cdot 3-3\cdot (-2)+c|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}=6\)\(\Leftrightarrow \frac{|12+6+c|}{5}=6\Leftrightarrow |18+c|=30\)
7. Giải tìm \(c\):
8. • Trường hợp 1: \(18 + c = 30 \Rightarrow c = 12\).
   • Trường hợp 2: \(18 + c = -30 \Rightarrow c = -48\).

Kết luận: Có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu là:

• \(d_1: 4x - 3y + 12 = 0\)
• \(d_2: 4x - 3y - 48 = 0\)

) Tìm \(m\) để tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 + (m-1)x + m + 5\) luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Để \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta cần các điều kiện sau:

1. Hệ số \(a > 0\)
2. Biệt thức \(\Delta < 0\)

Áp dụng vào bài toán (\(a=1, b=m-1, c=m+5\)):

• \(a = 1 > 0\) (luôn đúng).
• \(\Delta = (m-1)^2 - 4(1)(m+5) < 0\)

Giải bất phương trình \(\Delta \):
\(m^{2}-2m+1-4m-20<0\)\(m^{2}-6m-19<0\)

Xét phương trình \(m^2 - 6m - 19 = 0\), ta có các nghiệm: \(m = 3 \pm 2\sqrt{7}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
\(3-2\sqrt{7}<m<3+2\sqrt{7}\)

b) Giải phương trình: \(\sqrt{2x^2 - 8x + 4} = x - 2\)

Điều kiện: \(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\).

Bình phương hai vế phương trình, ta được:
\(2x^{2}-8x+4=(x-2)^{2}\)\(2x^{2}-8x+4=x^{2}-4x+4\)

Chuyển vế và rút gọn:
\(x^{2}-4x=0\)\(x(x-4)=0\)

Ta tìm được hai nghiệm:

1. \(x = 0\) (Loại vì không thỏa mãn điều kiện \(x \ge 2\))
2. \(x = 4\) (Thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \(S = \{4\}\).

) Tìm \(m\) để tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 + (m-1)x + m + 5\) luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Để \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta cần các điều kiện sau:

1. Hệ số \(a > 0\)
2. Biệt thức \(\Delta < 0\)

Áp dụng vào bài toán (\(a=1, b=m-1, c=m+5\)):

• \(a = 1 > 0\) (luôn đúng).
• \(\Delta = (m-1)^2 - 4(1)(m+5) < 0\)

Giải bất phương trình \(\Delta \):
\(m^{2}-2m+1-4m-20<0\)\(m^{2}-6m-19<0\)

Xét phương trình \(m^2 - 6m - 19 = 0\), ta có các nghiệm: \(m = 3 \pm 2\sqrt{7}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
\(3-2\sqrt{7}<m<3+2\sqrt{7}\)

b) Giải phương trình: \(\sqrt{2x^2 - 8x + 4} = x - 2\)

Điều kiện: \(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\).

Bình phương hai vế phương trình, ta được:
\(2x^{2}-8x+4=(x-2)^{2}\)\(2x^{2}-8x+4=x^{2}-4x+4\)

Chuyển vế và rút gọn:
\(x^{2}-4x=0\)\(x(x-4)=0\)

Ta tìm được hai nghiệm:

1. \(x = 0\) (Loại vì không thỏa mãn điều kiện \(x \ge 2\))
2. \(x = 4\) (Thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \(S = \{4\}\).

) Tìm \(m\) để tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 + (m-1)x + m + 5\) luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Để \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta cần các điều kiện sau:

1. Hệ số \(a > 0\)
2. Biệt thức \(\Delta < 0\)

Áp dụng vào bài toán (\(a=1, b=m-1, c=m+5\)):

• \(a = 1 > 0\) (luôn đúng).
• \(\Delta = (m-1)^2 - 4(1)(m+5) < 0\)

Giải bất phương trình \(\Delta \):
\(m^{2}-2m+1-4m-20<0\)\(m^{2}-6m-19<0\)

Xét phương trình \(m^2 - 6m - 19 = 0\), ta có các nghiệm: \(m = 3 \pm 2\sqrt{7}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
\(3-2\sqrt{7}<m<3+2\sqrt{7}\)

b) Giải phương trình: \(\sqrt{2x^2 - 8x + 4} = x - 2\)

Điều kiện: \(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\).

Bình phương hai vế phương trình, ta được:
\(2x^{2}-8x+4=(x-2)^{2}\)\(2x^{2}-8x+4=x^{2}-4x+4\)

Chuyển vế và rút gọn:
\(x^{2}-4x=0\)\(x(x-4)=0\)

Ta tìm được hai nghiệm:

1. \(x = 0\) (Loại vì không thỏa mãn điều kiện \(x \ge 2\))
2. \(x = 4\) (Thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \(S = \{4\}\).

a) Tính \(\cos \alpha\) giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta _{1}\)

Cho hai đường thẳng:

• \(\Delta: 3x + 4y + 7 = 0 \Rightarrow\) Vectơ pháp tuyến \(\vec{n_{\Delta}} = (3; 4)\).
• \(\Delta_1: 5x - 12y + 7 = 0 \Rightarrow\) Vectơ pháp tuyến \(\vec{n_{\Delta_1}} = (5; -12)\).

Góc \(\alpha \) giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
\(\cos \alpha =\frac{|\vec{n_{\Delta }}\cdot \vec{n_{\Delta _{1}}}|}{|\vec{n_{\Delta }}|\cdot |\vec{n_{\Delta _{1}}}|}=\frac{|3\cdot 5+4\cdot (-12)|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}\cdot \sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}}\)

\(\cos \alpha =\frac{|15-48|}{5\cdot 13}=\frac{|-33|}{65}=\frac{33}{65}\)

Kết quả: \(\cos \alpha = \frac{33}{65}\).

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với \(\Delta \) và tiếp xúc với \((C)\)

1. Phân tích đường tròn \((C)\):
   Từ phương trình \((C): (x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 36\), ta có:
2. • Tâm \(I(3; -2)\).
   • Bán kính \(R = \sqrt{36} = 6\).
3. Thiết lập phương trình đường thẳng \(d\):
   Vì \(d \perp \Delta\) (với \(\Delta: 3x + 4y + 7 = 0\)), nên phương trình \(d\) có dạng:
   \(4x-3y+c=0\)
4. Điều kiện tiếp xúc:
   Đường thẳng \(d\) tiếp xúc với \((C)\) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm \(I\) đến \(d\) bằng bán kính \(R\):
   \(d(I,d)=R\Leftrightarrow \frac{|4\cdot 3-3\cdot (-2)+c|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}=6\)\(\Leftrightarrow \frac{|12+6+c|}{5}=6\Leftrightarrow |18+c|=30\
5. Giải tìm \(c\):
6. • Trường hợp 1: \(18 + c = 30 \Rightarrow c = 12\).
   • Trường hợp 2: \(18 + c = -30 \Rightarrow c = -48\).

Kết luận: Có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu là:

• \(d_1: 4x - 3y + 12 = 0\)
• \(d_2: 4x - 3y - 48 = 0\)

) Tìm \(m\) để tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 + (m-1)x + m + 5\) luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Để \(f(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta cần các điều kiện sau:

1. Hệ số \(a > 0\)
2. Biệt thức \(\Delta < 0\)

Áp dụng vào bài toán (\(a=1, b=m-1, c=m+5\)):

• \(a = 1 > 0\) (luôn đúng).
• \(\Delta = (m-1)^2 - 4(1)(m+5) < 0\)

Giải bất phương trình \(\Delta \):
\(m^{2}-2m+1-4m-20<0\)\(m^{2}-6m-19<0\)

Xét phương trình \(m^2 - 6m - 19 = 0\), ta có các nghiệm: \(m = 3 \pm 2\sqrt{7}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
\(3-2\sqrt{7}<m<3+2\sqrt{7}\)

b) Giải phương trình: \(\sqrt{2x^2 - 8x + 4} = x - 2\)

Điều kiện: \(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\).

Bình phương hai vế phương trình, ta được:
\(2x^{2}-8x+4=(x-2)^{2}\)\(2x^{2}-8x+4=x^{2}-4x+4\)

Chuyển vế và rút gọn:
\(x^{2}-4x=0\)\(x(x-4)=0\)

Ta tìm được hai nghiệm:

1. \(x = 0\) (Loại vì không thỏa mãn điều kiện \(x \ge 2\))
2. \(x = 4\) (Thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \(S = \{4\}\).