Ta có \(\Delta_{1} , \Delta_{2} > 0\) suy ra hai phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète ta có:

\(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = - 2 024 ; x_{1} . x_{2} = 2 \\ & x_{3} + x_{4} = - 2 025 ; x_{3} . x_{4} = 2\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) = x_{1}^{2} + x_{1} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4} = x_{1}^{2} - 2 025 x_{1} + 2\).

Lại có \(x_{1}\) là nghiệm phương trình \(x^{2} + 2 024 x + 2 = 0\) nên:

\(x_{1}^{2} + 2 024 x_{1} + 2 = 0\)

\(x_{1}^{2} - 2 025 x_{1} + 2 + 4 049 x_{1} = 0\)

\(x_{1}^{2} - 2 025 x_{1} + 2 = - 4 049 x_{1}\)

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} + x_{4} \left.\right) = - 4 049 x_{1}\) (1) 

Tương tự: \(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4} = x_{2}^{2} + 2 025 x_{2} + 2\)

Mà \(x_{2}\) là nghiệm phương trình \(x^{2} + 2 024 x + 2 = 0\) nên

\(x_{2}^{2} + 2 024 x_{2} + 2 = 0\)

\(x_{2}^{2} + 2 025 x_{2} + 2 - x_{2} = 0\)

\(x_{2}^{2} + 2 025 x_{2} + 2 = x_{2}\)

\(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = x_{2}\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} + x_{4} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = - 4 049 x_{1} . x_{2}\)

hay \(A = - 4 049 x_{1} x_{2} = - 4 049.2 = - 8 098\).

Vậy \(A = - 8 098\).

a) \(\Delta^{'} = m^{2} + 3 > 0\) với mọi \(m\) nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo định lí Viète ta có: \(x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right)\).

Vì \(x_{1}\) là nghiệm của phương trình nên ta có:

\(x_{1}^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} + 2 m - 2 = 0\) hay \(x_{1}^{2} + 2 m - 2 = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1}\).

Suy ra \(B = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1} + 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2} = 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = 4 \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2}\).

a) \(x^{2} - m x - 1 = 0\) (1)

Ta có \(a c = - 1 < 0\) suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm \(x_{1} , x_{2}\) trái dấu.

b) Ta có \(x_{1}\) là nghiệm của phương trình (1) suy ra \(x_{1}^{2} - m x_{1} - 1 = 0\)

hay \(x_{1}^{2} - 1 = m x_{1}\);

Tương tự ta có \(x_{2}\) là nghiệm của phương trình (1) suy ra \(x_{2}^{2} - m x_{2} - 1 = 0\)

hay \(x_{2}^{2} - 1 = m x_{2}\).

\(A = \frac{x_{1}^{2} + x_{1} - 1}{x_{1}} - \frac{x_{2}^{2} + x_{2} - 1}{x_{2}}\)

\(= \frac{m x_{1} + x_{1}}{x_{1}} - \frac{m x_{2} + x_{2}}{x_{2}}\)

\(= \frac{\left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1}}{x_{1}} - \frac{\left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2}}{x_{2}} = 0\).

Vậy \(A = 0\).

Gọi số người được xét nghiệm mỗi giờ theo kế hoạch: \(x\) (người), \(\left(\right. x \in \mathbb{N}^{*} \left.\right)\)

Khi đó, trên thực tế mỗi giờ xét nghiệm được \(x + 50\) (người)

Theo kế hoạch, thời gian xét nghiệm xong là \(\frac{1 000}{x}\) (giờ)

Trên thực tế, thời gian xét nghiệm xong: \(\frac{1 000}{x + 50}\) (giờ)

Do hoàn thành sớm hơn kế hoạch \(1\) ngày nên ta có phương trình

\(\frac{1 000}{x} - \frac{1 000}{x + 50} = 1\)

\(x^{2} + 50 x - 50 000\)

\(x = 200\) (tm) hoặc \(x = - 250\) (ktm)

Vậy theo kế hoạch, mỗi giờ thành phố Gia Nghĩa xét nghiệm được \(200\) người.

Gọi số bộ quần áo mà phân xưởng phải may trong mỗi ngày theo kế hoạch là \(x\) (bộ quần áo)

Điều kiện \(x \in \mathbb{N} ; x < 900\)

Khi đó thời gian phân xưởng may xong \(900\) bộ quần áo theo kế hoạch là \(\frac{900}{x}\) (ngày)

Thực tế mỗi ngày may được \(x + 10\) (bộ quần áo) nên thời gian phân xưởng may xong \(900\) bộ quần áo là \(\frac{900}{x + 10}\) (ngày)

Do hoàn thành kế hoạch sớm hơn \(3\) (ngày) nên ta có phương trình:

\(\frac{900}{x} - \frac{900}{x + 10} = 3\)

\(900 \left(\right. x + 10 \left.\right) - 900 x = 3 x \left(\right. x + 10 \left.\right)\)

\(x^{2} + 10 x - 3 000 = 0\)

Ta có \(\Delta^{'} = 5^{2} - 1. \left(\right. - 3 000 \left.\right) = 3 025\)

Do \Delta^'>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} = \frac{- 5 + 55}{1} = 50\) (thoả mãn); \(x_{2} = \frac{- 5 - 55}{1} = - 60\) (không thoả mãn)

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải may \(50\) bộ quần áo.

Gọi vận tốc của xe máy là \(x\) (km/h) (điều kiện: \(x > 0\)).

Khi đó vận tốc của ô tô là: \(x + 9\) (km/h).

Thời gian xe máy đi từ Cao Bằng đến Bảo Lạc là: \(\frac{135}{x}\) (giờ).

Thời gian ô tô đi từ Cao Bằng đến Bảo Lạc là: \(\frac{135}{x + 9}\) (giờ).

Vì o tô đến Bảo lạc trước xe máy \(45\) phút \(= \frac{3}{4}\) giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{135}{x} - \frac{135}{x + 9} = \frac{3}{4}\)

\(135.4 \left(\right. x + 9 \left.\right) - 135.4 x = 3 x \left(\right. x + 9 \left.\right)\)

\(540 \left(\right. x + 9 \left.\right) - 540 x = 3 x^{2} + 27 x\)

\(3 x^{2} + 27 x - 4 860 = 0\)

\(x^{2} + 9 x - 1 620 = 0\)

\(\left(\right. x - 36 \left.\right) \left(\right. x + 45 \left.\right) = 0\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x = 36\) (tm); \(x = - 45\) (ktm).

Vậy vận tốc của xe máy là \(36\) km/h; vận tốc của ô tô là \(45\) km/h.

Đổi \(30\) phút \(= 0 , 5\) giờ

Gọi vận tốc ô tô dự định đi trên quãng đường \(A B\) là \(x\) (km/h), (\(x > 10\))

Thời gian dự định đi trên quãng đường \(A B\) là \(\frac{100}{x}\) (h)

Vận tốc thực tế ô tô đi là \(x - 10\) (km/h) 

Nên thời gian thực tế đi hết quãng đường \(A B\) là \(\frac{100}{x - 10}\) (h) 

Vì xe đến \(B\) chậm hơn dự định \(30\) phút \(= \frac{1}{2}\) (h) nên ta có phương trình:

\(\frac{100}{x - 10} - \frac{100}{x} = \frac{1}{2}\)

\(\frac{100 x - 100 \left(\right. x - 10 \left.\right)}{x \left(\right. x - 10 \left.\right)} = \frac{1}{2}\)

\(x^{2} - 10 x - 2 000 = 0\)

Ta có \(\Delta^{'} = 5^{2} + 2 000 = 2 025 > 0\),

\(\sqrt{\Delta} = 45\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} = 5 + 45 = 50\) (tm); \(x_{2} = 5 - 45 = - 40\) (ktm).

Vậy vận tốc dự định là \(50\) km/h và thời gian dự định là \(\frac{100}{50} = 2\) giờ.

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là \(x\) (m, điều kiện: \(x > 0\)).

Khi đó chiều dài hình chữ nhật là \(3 x\) (m).

Kích thước phần đất còn lại sau khi làm lối đi là \(x - 3\) (m); \(3 x - 3\) (m).

Theo bài diện tích đất còn lại là \(4 329\) m\(^{2}\) nên ta có phương trình:

\(\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. 3 x - 3 \left.\right) = 4 329\)

\(3 x^{2} - 3 x - 9 x + 9 = 4 329\)

\(3 x^{2} - 12 x - 4 320 = 0\)

\(x^{2} - 4 x - 1 440 = 0\)

\(\Delta^{'} = 4 + 1 440 = 1 444\) suy ra \(\sqrt{\Delta^{'}} = 38\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x_{1} = \frac{2 + 38}{1} = 40\) (thỏa mãn); \(x_{2} = \frac{2 - 38}{1} = - 36\) (loại).

Vậy chiều rộng mảnh vườn là \(40\) m; chiều dài mảnh vườn là \(3.40 = 120\) m.

Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là \(13\) m. Biết chiều dài mảnh đất lớn hơn chiều rộng là \(7\) m. Tính diện tích mảnh đất hình chữ nhật đó. 

Hướng dẫn giải:

Gọi chiều rộng mảnh đất là \(x\) (m) (ĐK: \(x > 0\))

\(\Rightarrow\) Chiều dài mảnh đất là \(x + 7\) (m).

Vì độ dài đường chéo của mảnh đất hình chữ nhật là \(13\) m nên ta có phương trình:

\(x^{2} + \left(\right. x + 7 \left.\right)^{2} = 1 3^{2}\)

\(x^{2} + x^{2} + 14 x + 49 = 169\)

\(2 x^{2} + 14 x - 120 = 0\)

\(x^{2} + 7 x - 60 = 0\)

Ta có \(\Delta = 7^{2} - 4. \left(\right. - 60 \left.\right) = 289 = 172 > 0\) nên phương trình có \(2\) nghiệm phân biệt:

\(x = \frac{- 7 + 17}{2} = 5\) (tm); \(x = \frac{- 7 - 17}{2} = - 12\) (ktm)

\(\Rightarrow\) Chiều rộng của mảnh đất là \(5\) m, chiều dài của mảnh đất là \(5 + 7 = 12\) m.

Vậy diện tích mảnh đất hình chữ nhật là \(S = 5.12 = 60\) (m\(^{2}\)).

- Hành vi vi phạm: cướp giật tài sản.

- Trách nhiệm pháp lí: trách nhiệm hình sự.