1. Kích thước của hình chữ nhật bên trong: Chiều dài là \(25\) cm và chiều rộng là \(17\) cm.
2. Kích thước của khung ảnh lớn: Với chiều rộng viền là \(x\), chiều dài và chiều rộng của khung ảnh sẽ là:
3. • Chiều dài: \(25 + 2 x\)
   • Chiều rộng: \(17 + 2 x\)
4. 
   \(A = \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right)\)
   Chúng ta cần phương trình này không vượt quá diện tích tối đa là \(513\) cm²:
   \(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) = 513\)
5. 
   \(25 \cdot 17 + 50 x + 34 x + 4 x^{2} = 513\)
   \(425 + 84 x + 4 x^{2} = 513\)
   \(4 x^{2} + 84 x + 425 - 513 = 0\)
   \(4 x^{2} + 84 x - 88 = 0\)
6. 
   \(x^{2} + 21 x - 22 = 0\)
7. 
   \(x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}\)
   trong đó \(a = 1\), \(b = 21\), và \(c = - 22\):
   \(x = \frac{- 21 \pm \sqrt{2 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - 22 \left.\right)}}{2 \cdot 1}\)
   \(= \frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 88}}{2}\)
   \(= \frac{- 21 \pm \sqrt{529}}{2}\)
   \(= \frac{- 21 \pm 23}{2}\)
9. • Nghiệm 1:
     \(x = \frac{2}{2} = 1\)
   • Nghiệm 2:
     \(x=\frac{- 44}{2}=-22\)

Kết luận:

Vậy độ rộng viền khung ảnh tối đa mà bạn Hà có thể làm là \(x = 1\) cm

2. • Đường thẳng \(\Delta : 3 x + 4 y + 7 = 0\) => \(a_{1} = 3 , b_{1} = 4\)
   • Đường thẳng \(\Delta_{1} : 5 x - 12 y + 7 = 0\) => \(a_{2} = 5 , b_{2} = - 12\)
3. 
   \(c o s ⁡ \alpha = \frac{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}}{\sqrt{\left(\right. a_{1}^{2} + b_{1}^{2} \left.\right) \left(\right. a_{2}^{2} + b_{2}^{2} \left.\right)}}\)
4. 
   \(c o s ⁡ \alpha = \frac{3 \cdot 5 + 4 \cdot \left(\right. - 12 \left.\right)}{\sqrt{\left(\right. 3^{2} + 4^{2} \left.\right) \left(\right. 5^{2} + \left(\right. - 12 \left.\right)^{2} \left.\right)}}\)
   \(= \frac{15 - 48}{\sqrt{\left(\right. 9 + 16 \left.\right) \left(\right. 25 + 144 \left.\right)}}\)
   \(= \frac{- 33}{\sqrt{25 \cdot 169}} = \frac{- 33}{65}\)

\(c o s ⁡ \alpha = \frac{- 33}{65}\)

1. Δ=(m−1)2−4⋅1⋅(m+5)
   \(= \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m + 5 \left.\right)\)
   \(= m^{2} - 2 m + 1 - 4 m - 20\)
   \(= m^{2} - 6 m - 19\)
2. Để \(f \left(\right. x \left.\right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), cần \(\Delta \leq 0\):
   \(m^{2} - 6 m - 19 \leq 0\)
3.  \(m^{2} - 6 m - 19 = 0\):
   
   \(m \in \left(\right. 3 - 2 \sqrt{7} , 3 + 2 \sqrt{7} \left.\right)\)

b) Giải phương trình:
\(\sqrt{2 x^{2} - 8 x + 4} = x - 2\)

1. 
   \(2 x^{2} - 8 x + 4 = \left(\right. x - 2 \left.\right)^{2}\)
   \(= x^{2} - 4 x + 4\)
2. 
   \(2 x^{2} - 8 x + 4 - x^{2} + 4 x - 4 = 0\)
   \(x^{2} - 4 x = 0\)
3. 
   \(x \left(\right. x - 4 \left.\right) = 0\)
4. 
   \(x = 0 \text{ho}ặ\text{c} x = 4\)
5. • Với \(x = 0\): Không thỏa mãn.
   • Với \(x = 4\): Thỏa mãn.