1. Tìm độ dài cạnh $a$ của hình lập phương:
   Dựa trên cấu trúc hình vẽ và giá trị đã cho, ta giả sử đoạn $AB$ là đường chéo của một mặt hình vuông có cạnh $a$.
   \(A B = a \sqrt{2}\)
   Ta có \(A B = 4 \sqrt{5}\), suy ra:
   \(a \sqrt{2} = 4 \sqrt{5} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a = \frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{10}\)
2. Tính khoảng cách $d(O, AB)$:
   Sau khi gấp, nếu ta chọn hệ trục tọa độ sao cho mặt chứa $AB$ là mặt đáy, và $O$ là tâm của một mặt bên (ví dụ, mặt bên phải), khoảng cách $d$ từ $O$ đến đường thẳng $AB$ (đường chéo mặt đáy) được tính bằng công thức hình học không gian liên quan đến cạnh $a$.
   Khoảng cách này có thể được xác định là độ dài đường cao của tam giác tạo bởi $O$ và hai đầu mút của $AB$ trong mặt phẳng chứa $O$ và vuông góc với $AB$. Trong trường hợp này, khoảng cách $d$ được tính bằng công thức:
   \(d = \frac{a \sqrt{6}}{4}\)
   Thay $a = 2\sqrt{10}$ vào công thức:
   \(d = \frac{\left(\right. 2 \sqrt{10} \left.\right) \cdot \sqrt{6}}{4} = \frac{2 \sqrt{60}}{4} = \frac{\sqrt{4 \cdot 15}}{2} = \frac{2 \sqrt{15}}{2} = \sqrt{15}\)

Đáp số: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB là 1515​.\(\)

\(\)

\(\)