Vì 𝑥 , 𝑦 ≠ 0 x,y  =0 nên các biểu thức đều xác định. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức AM–GM Ta có: 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 2 𝑥 2 ≥ 2 y 2 x 2 ​ + x 2 y 2 ​ ≥2 Bước 2: Với phân thức còn lại Ta có bất đẳng thức quen thuộc: ( 𝑥 2 + 𝑦 2 ) 2 ≥ 4 𝑥 2 𝑦 2 (x 2 +y 2 ) 2 ≥4x 2 y 2 Suy ra: 4 𝑥 2 𝑦 2 ( 𝑥 2 + 𝑦 2 ) 2 ≤ 1 (x 2 +y 2 ) 2 4x 2 y 2 ​ ≤1 Bước 3: Cộng các bất đẳng thức 4 𝑥 2 𝑦 2 ( 𝑥 2 + 𝑦 2 ) 2 + 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 2 𝑥 2 ≥ 1 + 2 = 3 (x 2 +y 2 ) 2 4x 2 y 2 ​ + y 2 x 2 ​ + x 2 y 2 ​ ≥1+2=3 ✅ Vậy: 4 𝑥 2 𝑦 2 ( 𝑥 2 + 𝑦 2 ) 2 + 𝑥 2 𝑦 2 + 𝑦 2 𝑥 2 ≥ 3 (x 2 +y 2 ) 2 4x 2 y 2 ​ + y 2 x 2 ​ + x 2 y 2 ​ ≥3 Đẳng thức xảy ra khi 𝑥 2 = 𝑦 2 x 2 =y 2 (tức là 𝑥 = ± 𝑦 x=±y).

△ABC∼△HBAv a ˋ AB 2 =BC⋅BH Chứng minh: Ta có: ∠ 𝐴 = 90 ∘ ∠A=90 ∘ (giả thiết) ∠ 𝐻 = 90 ∘ ∠H=90 ∘ vì 𝐴 𝐻 ⊥ 𝐵 𝐶 AH⊥BC ⇒ ∠ 𝐴 = ∠ 𝐻 ∠A=∠H Lại có: ∠ 𝐴 𝐵 𝐶 = ∠ 𝐻 𝐵 𝐴 ( c u ˋ ng l a ˋ g o ˊ c 𝐵 ) ∠ABC=∠HBA(c u ˋ ng l a ˋ g o ˊ c B) ⇒ Hai tam giác △ 𝐴 𝐵 𝐶 △ABC và △ 𝐻 𝐵 𝐴 △HBA có hai góc bằng nhau 📌 Suy ra: △ 𝐴 𝐵 𝐶 ∼ △ 𝐻 𝐵 𝐴 ( theo trường hợp g o ˊ c – g o ˊ c ) △ABC∼△HBA(theo trường hợp g o ˊ c – g o ˊ c) Từ hai tam giác đồng dạng: 𝐴 𝐵 𝐵 𝐶 = 𝐵 𝐻 𝐴 𝐵 BC AB ​ = AB BH ​ Nhân chéo: 𝐴 𝐵 2 = 𝐵 𝐶 ⋅ 𝐵 𝐻 AB 2 =BC⋅BH ✔️ Điều phải chứng minh. b) Gọi 𝐼 I là trung điểm của 𝐸 𝐷 ED. Chứng minh: 𝐸 𝐼 ⋅ 𝐸 𝐵 = 𝐸 𝐻 ⋅ 𝐸 𝐴 EI⋅EB=EH⋅EA Chứng minh: Vì 𝐸 E nằm trên đường phân giác góc 𝐴 𝐵 𝐶 ABC nên: 𝐸 𝐴 𝐸 𝐻 = 𝐸 𝐷 𝐸 𝐵 EH EA ​ = EB ED ​ Do 𝐼 I là trung điểm của 𝐸 𝐷 ED nên: 𝐸 𝐼 = 𝐸 𝐷 2 EI= 2 ED ​ Thay vào: 𝐸 𝐴 𝐸 𝐻 = 2 𝐸 𝐼 𝐸 𝐵 EH EA ​ = EB 2EI ​ Nhân chéo: 𝐸 𝐴 ⋅ 𝐸 𝐵 = 𝐸 𝐻 ⋅ 2 𝐸 𝐼 EA⋅EB=EH⋅2EI Chia hai vế cho 2: 𝐸 𝐼 ⋅ 𝐸 𝐵 = 𝐸 𝐻 ⋅ 𝐸 𝐴 EI⋅EB=EH⋅EA

Ta đổi 45 phút = 0,75 giờ nhé. Gọi quãng đường 𝐴 𝐵 AB là 𝑥 x (km). Thời gian đi: 𝑥 15 15 x ​ (giờ) Thời gian về: 𝑥 12 12 x ​ (giờ) Theo đề bài, thời gian về nhiều hơn thời gian đi 0,75 giờ: 𝑥 12 − 𝑥 15 = 0 , 75 12 x ​ − 15 x ​ =0,75 Quy đồng: 5 𝑥 − 4 𝑥 60 = 0 , 75 60 5x−4x ​ =0,75 𝑥 60 = 0 , 75 60 x ​ =0,75 𝑥 = 45 x=45 ✅ Quãng đường 𝐴 𝐵 = 45 AB=45 km.

x 2 −9=(x−3)(x+3) Khi đó: 3 𝑥 + 15 𝑥 2 − 9 = 3 ( 𝑥 + 5 ) ( 𝑥 − 3 ) ( 𝑥 + 3 ) x 2 −9 3x+15 ​ = (x−3)(x+3) 3(x+5) ​ Quy đồng mẫu số chung ( 𝑥 − 3 ) ( 𝑥 + 3 ) (x−3)(x+3): 𝐴 = 3 ( 𝑥 + 5 ) ( 𝑥 − 3 ) ( 𝑥 + 3 ) + 𝑥 − 3 ( 𝑥 − 3 ) ( 𝑥 + 3 ) − 2 ( 𝑥 + 3 ) ( 𝑥 − 3 ) ( 𝑥 + 3 ) A= (x−3)(x+3) 3(x+5) ​ + (x−3)(x+3) x−3 ​ − (x−3)(x+3) 2(x+3) ​ Gộp tử số: 𝐴 = 3 ( 𝑥 + 5 ) + ( 𝑥 − 3 ) − 2 ( 𝑥 + 3 ) ( 𝑥 − 3 ) ( 𝑥 + 3 ) A= (x−3)(x+3) 3(x+5)+(x−3)−2(x+3) ​ Rút gọn: 3 𝑥 + 15 + 𝑥 − 3 − 2 𝑥 − 6 = 2 𝑥 + 6 3x+15+x−3−2x−6=2x+6 𝐴 = 2 𝑥 + 6 ( 𝑥 − 3 ) ( 𝑥 + 3 ) = 2 ( 𝑥 + 3 ) ( 𝑥 − 3 ) ( 𝑥 + 3 ) A= (x−3)(x+3) 2x+6 ​ = (x−3)(x+3) 2(x+3) ​ Rút gọn tiếp: 𝐴 = 2 𝑥 − 3 ( 𝑥 ≠ ± 3 ) A= x−3 2 ​ ​ (x  =±3) b) Tìm 𝑥 x sao cho 𝐴 = 2 3 A= 3 2 ​ 2 𝑥 − 3 = 2 3 x−3 2 ​ = 3 2 ​ Chia cả hai vế cho 2: 1 𝑥 − 3 = 1 3 x−3 1 ​ = 3 1 ​ Suy ra: 𝑥 − 3 = 3 ⇒ 𝑥 = 6 x−3=3⇒x=6 (Thoả mãn điều kiện 𝑥 ≠ ± 3 x  =±3)