Tẩn Duy Hưng
Giới thiệu về bản thân
\(\frac{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}}{4 x^{2} y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} \geq 3\)
\(x^{2} = y^{2} \Rightarrow x = \pm y\)
a) Chứng minh \(\triangle A B C sim \triangle H B A\) và \(A B^{2} = B C \cdot B H\)
Chứng minh hai tam giác đồng dạng
- \(\triangle A B C\) vuông tại \(A\)
\(\angle A = 90^{\circ}\)
- \(A H \bot B C\) nên trong \(\triangle H B A\):
\(\angle H = 90^{\circ}\)
Vậy
\(\angle A = \angle H\)
Mặt khác:
\(\angle A B C = \angle H B A\)
(vì cùng là góc tại \(B\)).
Do đó:
\(\triangle A B C sim \triangle H B A \left(\right. g . g \left.\right)\)
Suy ra hệ thức
Từ hai tam giác đồng dạng:
\(\frac{A B}{B C} = \frac{B H}{A B}\)
Nhân chéo:
\(A B^{2} = B C \cdot B H\)
✔ Đã chứng minh.
b) Chứng minh \(E I \cdot E B = E H \cdot E A\)
Ta có:
- \(B E\) là đường phân giác của \(\angle A B C\)
- \(E\) nằm trên \(A H\)
Xét hai tam giác:
\(\triangle E H B \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \triangle E A B\)
Ta có:
\(\angle H E B = \angle B E A\)
(vì \(B E\) là phân giác).
Suy ra hai tam giác này đồng dạng.
Do đó:
\(\frac{E H}{E B} = \frac{E A}{E I}\)
Nhân chéo:
\(E I \cdot E B = E H \cdot E A\)
✔ Điều phải chứng minh.
a)
\(\triangle A B C sim \triangle H B A\) \(A B^{2} = B C \cdot B H\)
b)
\(E I \cdot E B = E H \cdot E A\)
Gọi quãng đường \(A B = x\) (km).
Thời gian đi từ A đến B
Vận tốc: \(15\) km/h
\(t_{1} = \frac{x}{15} \&\text{nbsp};(\text{gi}ờ)\)Thời gian đi từ B về A
Vận tốc: \(12\) km/h
\(t_{2} = \frac{x}{12} \&\text{nbsp};(\text{gi}ờ)\)Theo đề bài: thời gian về nhiều hơn thời gian đi \(45\) phút.
\(45 \&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˊ}{\text{u}} \text{t} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} \&\text{nbsp};\text{gi}ờ\)Do đó:
\(t_{2} - t_{1} = \frac{3}{4}\)Thay vào:
\(\frac{x}{12} - \frac{x}{15} = \frac{3}{4}\)Giải phương trình
Quy đồng:
\(\frac{5 x - 4 x}{60} = \frac{3}{4}\) \(\frac{x}{60} = \frac{3}{4}\) \(x = 60 \times \frac{3}{4} = 45\)Kết luận
AB=45km
a
- x2−93x+15
Chúng ta nhận thấy rằng \(x^{2} - 9\) có thể phân tích được dưới dạng \(\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)\), vì:
\(x^{2} - 9 = \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)\)
Vậy, ta có:
\(\frac{3 x + 15}{x^{2} - 9} = \frac{3 \left(\right. x + 5 \left.\right)}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)}\) - (x−3)(x+3)3(x+5)=2(x−3)(x+3)6(x+5)
- Phân số thứ hai:
\(\left(\right. x + 3 \left.\right) = \frac{2 \left(\right. x + 3 \left.\right)}{2}\) - Phân số thứ ba:
\(\frac{x - 3}{2} = \frac{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)}{2 \left(\right. x + 3 \left.\right)}\)Cộng ba phân số có mẫu chung là \(2 \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)\):
\(A = \frac{6 \left(\right. x + 5 \left.\right)}{2 \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)} + \frac{2 \left(\right. x + 3 \left.\right)}{2 \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)} - \frac{\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)}{2 \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)}\)
Đưa tất cả về mẫu số chung, ta có:
\(A = \frac{6 \left(\right. x + 5 \left.\right) + 2 \left(\right. x + 3 \left.\right) - \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)}{2 \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)}\)
6(x+5)=6x+30 \(2 \left(\right. x + 3 \left.\right) = 2 x + 6\) \(\left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right) = x^{2} - 9\)
Vậy tử số trở thành:
\(6 x + 30 + 2 x + 6 - \left(\right. x^{2} - 9 \left.\right) = 6 x + 2 x + 30 + 6 - x^{2} + 9\)
Kết quả là:
\(8 x + 45 - x^{2}\)
Vậy biểu thức \(A\) rút gọn là:
\(A = \frac{- x^{2} + 8 x + 45}{2 \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)}\)
b
Chúng ta có:
\(A = \frac{- x^{2} + 8 x + 45}{2 \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)} = \frac{3}{2}\)
Nhân chéo hai vế để giải phương trình:
\(- x^{2} + 8 x + 45 = 3 \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right)\)
Bên phải:
\(3 \left(\right. x - 3 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right) = 3 \left(\right. x^{2} - 9 \left.\right) = 3 x^{2} - 27\)
Vậy phương trình trở thành:
\(- x^{2} + 8 x + 45 = 3 x^{2} - 27\)
Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\(- x^{2} + 8 x + 45 - 3 x^{2} + 27 = 0\)
Kết quả là:
\(- 4 x^{2} + 8 x + 72 = 0\)
Chia cả phương trình cho -4 để đơn giản hóa:
\(x^{2} - 2 x - 18 = 0\)
Giải phương trình bậc hai:
\(x = \frac{- \left(\right. - 2 \left.\right) \pm \sqrt{\left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. 1 \left.\right) \left(\right. - 18 \left.\right)}}{2 \left(\right. 1 \left.\right)}\) \(x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 72}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{2}\) \(x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{2}\) \(x = 1 \pm \sqrt{19}\)
Vậy, \(x = 1 + \sqrt{19}\) hoặc \(x = 1 - \sqrt{19}\).