Gọi \(x\) (km) là quãng đường \(A B\).

Điều kiện: \(x > 0\).

Thời gian người đó đi xe đạp từ \(A\) đến \(B\) là: \(\frac{x}{15}\) (h);

Thời gian lúc về của người đó là: \(\frac{x}{12}\) (h).

Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi \(45\) phút \(= \frac{3}{4}\) (h), nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{12} - \frac{x}{15} = \frac{3}{4}\)

\(\frac{5 x}{60} - \frac{4 x}{60} = \frac{45}{60}\)

\(5 x - 4 x = 45\)

\(x = 45\) (TMĐK)

Vậy quãng đường \(A B\) dài \(45\) (km).

Phương trình đã cho trở thành

\(\frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} - 1 + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} - 2 \geq 0\)

\(\frac{4 x^{2} y^{2} - \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{x^{4} + y^{4} - 2 x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}} \geq 0\)

\(\frac{- \left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{\left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2}}{x^{2} y^{2}} \geq 0\)

\(\left(\right.x^2-y^2\left.\right)^2.\left[\right.\frac{1}{x^{2} y^{2}}-\frac{1}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}}\left]\right.\geq0\)

\(\left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2} . \frac{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2} - x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} \geq 0\)

\(\left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2} . \frac{x^{4} + y^{4} + x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} \geq 0\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y\) hoặc \(x = - y\).

Chứng minh được: \(\Delta ABC\sim\Delta HBA\) (g.g)

Từ đó suy ra \(A B^{2} = B C . B H\)

\(\hat{A E D} = \hat{A D E}\) (Cùng phụ với \(\hat{A B D} = \hat{C B D}\))

Suy ra \(\Delta A E D\) cân tại \(A\) suy ra \(A I\) vuông góc với \(D E\) tại \(I\).

Chứng minh \(\Delta E H B\) và \(\Delta E I A\) đồng dạng (g.g).

Từ đó suy ra \(\frac{E I}{E H} = \frac{E A}{E B}\) nên \(E I . E B = E H . E A\).

Giải

a) A= \(\frac{3x+15}{x^2-9}+\frac{1}{x+3}-\frac{2}{x-3}\)

A =\(\frac{3x+15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{1}{x+3}-\frac{2}{x-3}\)

A=\(\frac{3x+15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{x-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{2x+6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

A=\(\frac{3x+15+x-3-2x-6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{\left(3x+x-2x\right)+\left(15-3-6\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

A=\(\frac{2x+6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{2\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

A=\(\frac{2}{x-3}\)

b)Ta có:

\(\frac{2}{x - 3} = \frac{2}{3}\)

\(2 \cdot 3 = 2 \left(\right. x - 3 \left.\right)\) \(6 = 2 x - 6\) \(2 x = 12\)
\(6 \neq 3\), \(6 \neq - 3\) ⇒ thỏa mãn.