a.Ta có:ˆBEH=ˆBDH=90oBEH^=BDH^=90o

→BEHD→BEHD nội tiếp đường tròn đường kính HBHB

b.Ta có: ˆBEC=ˆBFC=90oBEC^=BFC^=90o

→BCEF→BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BCBC

→ˆCEN=ˆCEF=ˆCBF=90o−ˆFCB=90o−ˆACD=ˆCAD=ˆCAK=ˆCIK=ˆCIE→CEN^=CEF^=CBF^=90o−FCB^=90o−ACD^=CAD^=CAK^=CIK^=CIE^

→ΔCEN∼ΔCIE(g.g)→ΔCEN∼ΔCIE(g.g)

→CECI=CNCE→CECI=CNCE

→CE2=CN.CI→CE2=CN.CI

c.Ta có: ˆAEH=ˆAFH=90oAEH^=AFH^=90o

→A,E,H,F∈→A,E,H,F∈ đường tròn đường kính AHAH

→→Tâm (AEF)(AEF) là tâm (AEHF)(AEHF) là trung điểm AHAH

→P→P là trung điểm AHAH

Ta có: OM⊥BCOM⊥BC

→M→M là trung điểm BCBC

Kẻ EG⊥ACEG⊥AC

→CG.CA=CE2=CN.CI→CG.CA=CE2=CN.CI

→CGCN=CICA→CGCN=CICA

→ΔCGN∼ΔCAI(c.g.c)→ΔCGN∼ΔCAI(c.g.c)

→ˆCGN=ˆCIA=ˆCBA=ˆAFE=ˆGFN→CGN^=CIA^=CBA^=AFE^=GFN^

→ˆNGE=90o−ˆNGF=90o−ˆNFG=ˆNEG→NGE^=90o−NGF^=90o−NFG^=NEG^

→ΔNGF,ΔNGE→ΔNGF,ΔNGE cân tại NN

→NG=NF,NG=NE→NG=NF,NG=NE

→NE=NF→NE=NF

→N→N là trung điểm EFEF

Ta có: ΔBEC,ΔBFCΔBEC,ΔBFC vuông tại E,FE,F và MM là trung điểm BCBC

→ME=MB=MC=12BC=MF→ME=MB=MC=12BC=MF

→ME=MF→ME=MF

Mà NE=NF,PE=PFNE=NF,PE=PF

→P,N,M∈→P,N,M∈ trung trực EFEF

→P,N,M→P,N,M thẳng hàng

gọi n là nồng độ của trà 1 lúc ban đầu

\(n 2 = \frac{\Delta m . n}{\Delta m + m 2} = \frac{n}{1 + \frac{m 2}{\Delta m}} \left(\right. 1 \left.\right)\)

thay \(x 2 = \frac{\Delta m}{m 2}\)

thay vào trường hợp 1 ta có \(n 2 = \frac{n}{1 + \frac{1}{x 2}} = \frac{n . x 2}{x 2 + 1}\)

nếu trường hợp đổ trở lại m từ cốc 2 sang cốc 1thì nồng độ nước trà cốc 1

\(n 1 = \frac{\left(\right. m 1 - \Delta m \left.\right) . n + \Delta m . n 2}{\left(\right. m 1 - \Delta m \left.\right) + \Delta m} = \frac{\left(\right. m 1 - \Delta m \left.\right) . n + \Delta m . \frac{n . x 2}{x 2 + 1}}{m 1} = n - \frac{\Delta m . n}{m 1} + \frac{\Delta m}{m 1} . \frac{n . x 2}{x 2 + 1} \left(\right. 2 \left.\right)\)

thay \(x 1 = \frac{\Delta m}{m 1}\)

vào trường hợp 2 ta có:\(n 1 = \left(\right. 1 - x 1 \left.\right) . n + \frac{x 1. x 2. n}{x 2 + 1}\)

theo giả thiết ta có:\(n 1 = k . n 2\)

hay \(\left(\right. 1 - x 1 \left.\right) . n + \frac{x 1. x 2. n}{x 2 + 1} = k . \frac{n . x 2}{x 2 + 1}\)

\(1 - x 1 = \frac{\left(\right. k - x 1 \left.\right) . x 2}{x 2 + 1}\)

suy ra độ chênh lệch giữa hai cốc:\(k = \frac{\left(\right. 1 - x 1 \left.\right) . \left(\right. 1 + x 2 \left.\right)}{x 2} + x 1 = \frac{1 + x 2 - x 1 - x 1 x 2}{x 2} + x 1 = \frac{1 - x 1}{x 2} + 1 \left(\right. 3 \left.\right)\)

\(< = > \frac{1 - x 1}{x 2} = k - 1 = 2 , 5 - 1 = 1 , 5 < = > 1 = 1 , 5 x 2 + x 1 \left(\right. 4 \left.\right)\)

khi đổ nước có khối lượng m từ bình 1 sang bình 2 ta có phương trình cân bằng nhiệt

m.c(t1-t)=m2.c(t-t2)

\(t = \frac{\Delta m . c . t 1 + m 2. c . t 2}{\Delta m . c + m 2. c} = \frac{\Delta m . t 1 + m 2. t 2}{\Delta m + m 2}\)

thêm bớt m2t1 vào tử ta có 

\(t = \frac{\Delta m . t 1 + m 2. t 1 + m 2. t 2 - m 2. t 1}{\Delta m + m 2} = t 1 + \frac{m 2. \left(\right. t 2 - t 1 \left.\right)}{\Delta m + m 2} = t 1 + \frac{t 2 - t 1}{x 2 + 1} = t 1 - \frac{t 2 - t 1}{x 2 + 1} \left(\right. 6 \left.\right)\)

khi đổ m trở lại cốc 1 ta có phương trình cân bằng nhiệt sau

m.c(t'-t)=(m1-m).c(t1-t')

\(= > t^{'} = \frac{\Delta m . c . t + \left(\right. m 1 - \Delta m \left.\right) c . t 1}{\Delta m . c \left(\right. m 1 - \Delta m \left.\right) c} = \frac{\Delta m . t + \left(\right. m 1 - \Delta m \left.\right) . t 1}{m 1} < = > t^{'} = x 1. t + t 1 - x 1. t 1 = x 1 \left(\right. t - t 1 \left.\right) + t 1\)

thay vào trường hợp 6 ta có:\(t^{'} = \left(\right. t 1 - \frac{t 1 - t 2}{x 2 + 1} \left.\right) . x 1 + t 1 = t 1 - \frac{x 1. \left(\right. t 1 - t 2 \left.\right)}{x 2 + 1} \left(\right. < > \left.\right)\)

hiệu nhiệt độ giữa hai cốc

\(t = t^{'} - t = t 1 - \frac{x 1. \left(\right. t 1 - t 2 \left.\right)}{x 2 + 1} - t 1 - \frac{t 1 - t 2}{x 2 + 1} = \frac{t 1 - t 2 - x 1. \left(\right. t 1 - t 2 \left.\right)}{x 2 + 1} = \frac{\left(\right. 1 - x 1 \left.\right) . \left(\right. t 1 - t 2 \left.\right)}{x 2 + 1} \left(\right. \backslash \left.\right)\)

thay t1,t2,t vào (/) ta có \(15 = \frac{\left(\right. 1 - x 1 \left.\right) . \left(\right. 45 - 5 \left.\right)}{x 2 + 1} = > 15 x 2 + 40 x 1 = 25 \left(\right. \backslash \backslash \left.\right)\)

giải hệ phương trình từ (4) và (\\) ta có: ta được x1=\(\frac{1}{2}\)

x2=\(\frac{1}{3}\)

ta thấy khi m tăng thì \(x 1 = \frac{\Delta m}{m 1}\) 

x2=\(\frac{\Delta m}{m 2}\)

đều tăng ,do đó từ phần (3) và (//) ta có k và t đều giảm