a) Chứng minh tứ giác \(B F H D\) nội tiếp.

Xét đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\) có \(\hat{C F B} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(C F ⊥ A B\).

\(\hat{C F B} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(B E ⊥ A C\)

Mà \(C F\) cắt \(B E\) tại \(H\) nên \(H\) là trực tâm của tam giác \(A B C\)

Hay \(A H ⊥ B C\), suy ra \(\hat{H D B} = 9 0^{\circ}\)

Gọi \(K\) là trung điểm \(B H\).

Xét tam giác \(H D B\) có \(\hat{H D B} = 9 0^{\circ}\) và \(D K\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(K D = K H = K B = \frac{1}{2} B H\) (1)

Xét tam giác \(H F B\) có \(\hat{H F B} = 9 0^{\circ}\) và \(E K\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(K E = K H = K B = \frac{1}{2} H B\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(K B = K H = K F = K D\).

Vậy tứ giác \(B F H D\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(K\) đường kính \(B H\).

b) Chứng minh tứ giác \(A B D E\) nội tiếp.

Gọi \(O\) là trung điểm \(A B\).

Xét tam giác \(A D B\) có \(\hat{A D B} = 9 0^{\circ}\) và \(D O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O D = O A = O B = \frac{1}{2} A B\) (3)

Xét tam giác \(A E B\) có \(\hat{A E B} = 9 0^{\circ}\) và \(E O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O E = O A = O B = \frac{1}{2} A B\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(O D = O E = O A = O B\).

Vậy tứ giác \(A B D E\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(O\) đường kính \(A B\).

a) Chứng minh tứ giác \(B F H D\) nội tiếp.

Xét đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\) có \(\hat{C F B} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(C F ⊥ A B\).

\(\hat{C F B} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(B E ⊥ A C\)

Mà \(C F\) cắt \(B E\) tại \(H\) nên \(H\) là trực tâm của tam giác \(A B C\)

Hay \(A H ⊥ B C\), suy ra \(\hat{H D B} = 9 0^{\circ}\)

Gọi \(K\) là trung điểm \(B H\).

Xét tam giác \(H D B\) có \(\hat{H D B} = 9 0^{\circ}\) và \(D K\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(K D = K H = K B = \frac{1}{2} B H\) (1)

Xét tam giác \(H F B\) có \(\hat{H F B} = 9 0^{\circ}\) và \(E K\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(K E = K H = K B = \frac{1}{2} H B\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(K B = K H = K F = K D\).

Vậy tứ giác \(B F H D\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(K\) đường kính \(B H\).

b) Chứng minh tứ giác \(A B D E\) nội tiếp.

Gọi \(O\) là trung điểm \(A B\).

Xét tam giác \(A D B\) có \(\hat{A D B} = 9 0^{\circ}\) và \(D O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O D = O A = O B = \frac{1}{2} A B\) (3)

Xét tam giác \(A E B\) có \(\hat{A E B} = 9 0^{\circ}\) và \(E O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O E = O A = O B = \frac{1}{2} A B\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(O D = O E = O A = O B\).

Vậy tứ giác \(A B D E\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(O\) đường kính \(A B\).

a) Chứng minh tứ giác \(B F H D\) nội tiếp.

Xét đường tròn \(\left(\right. I \left.\right)\) có \(\hat{C F B} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(C F ⊥ A B\).

\(\hat{C F B} = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Suy ra \(B E ⊥ A C\)

Mà \(C F\) cắt \(B E\) tại \(H\) nên \(H\) là trực tâm của tam giác \(A B C\)

Hay \(A H ⊥ B C\), suy ra \(\hat{H D B} = 9 0^{\circ}\)

Gọi \(K\) là trung điểm \(B H\).

Xét tam giác \(H D B\) có \(\hat{H D B} = 9 0^{\circ}\) và \(D K\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(K D = K H = K B = \frac{1}{2} B H\) (1)

Xét tam giác \(H F B\) có \(\hat{H F B} = 9 0^{\circ}\) và \(E K\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(K E = K H = K B = \frac{1}{2} H B\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(K B = K H = K F = K D\).

Vậy tứ giác \(B F H D\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(K\) đường kính \(B H\).

b) Chứng minh tứ giác \(A B D E\) nội tiếp.

Gọi \(O\) là trung điểm \(A B\).

Xét tam giác \(A D B\) có \(\hat{A D B} = 9 0^{\circ}\) và \(D O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O D = O A = O B = \frac{1}{2} A B\) (3)

Xét tam giác \(A E B\) có \(\hat{A E B} = 9 0^{\circ}\) và \(E O\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(O E = O A = O B = \frac{1}{2} A B\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(O D = O E = O A = O B\).

Vậy tứ giác \(A B D E\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(O\) đường kính \(A B\).

+)xét tam giác BED vuông tại E

nên tam giác BED nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm B,E,D cùng thuộc 1 đường tròn (1)

xét tam giác BDC vuông tại D

nên tam giác BDC nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm B,D,C cùng thuộc một đường tròn (2)

từ (1) và (2) : suy ra 4 điểm B ,D, C ,E cùng thuộc một đường tròn

hay tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp
+) xét tam giác ADH vuông tại D

nên tam giác ADH nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm A,D,H cùng thuộc một đường tròn (1)

xét tam giác AEH vuông tại E

nên tam giác AEH nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm A ,E,H cùng thuộc một đường tròn (2)

từ (1) và (2) : suy ra 4 điểm A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn

hay tứ giác AEHD là tứ giác nội tiếp

+)xét tam giác BED vuông tại E

nên tam giác BED nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm B,E,D cùng thuộc 1 đường tròn (1)

xét tam giác BDC vuông tại D

nên tam giác BDC nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm B,D,C cùng thuộc một đường tròn (2)

từ (1) và (2) : suy ra 4 điểm B ,D, C ,E cùng thuộc một đường tròn

hay tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp
+) xét tam giác ADH vuông tại D

nên tam giác ADH nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm A,D,H cùng thuộc một đường tròn (1)

xét tam giác AEH vuông tại E

nên tam giác AEH nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm A ,E,H cùng thuộc một đường tròn (2)

từ (1) và (2) : suy ra 4 điểm A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn

hay tứ giác AEHD là tứ giác nội tiếp

+)xét tam giác BED vuông tại E

nên tam giác BED nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm B,E,D cùng thuộc 1 đường tròn (1)

xét tam giác BDC vuông tại D

nên tam giác BDC nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm B,D,C cùng thuộc một đường tròn (2)

từ (1) và (2) : suy ra 4 điểm B ,D, C ,E cùng thuộc một đường tròn

hay tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp
+) xét tam giác ADH vuông tại D

nên tam giác ADH nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm A,D,H cùng thuộc một đường tròn (1)

xét tam giác AEH vuông tại E

nên tam giác AEH nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm A ,E,H cùng thuộc một đường tròn (2)

từ (1) và (2) : suy ra 4 điểm A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn

hay tứ giác AEHD là tứ giác nội tiếp

+)xét tam giác BED vuông tại E

nên tam giác BED nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm B,E,D cùng thuộc 1 đường tròn (1)

xét tam giác BDC vuông tại D

nên tam giác BDC nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm B,D,C cùng thuộc một đường tròn (2)

từ (1) và (2) : suy ra 4 điểm B ,D, C ,E cùng thuộc một đường tròn

hay tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp
+) xét tam giác ADH vuông tại D

nên tam giác ADH nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm A,D,H cùng thuộc một đường tròn (1)

xét tam giác AEH vuông tại E

nên tam giác AEH nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm A ,E,H cùng thuộc một đường tròn (2)

từ (1) và (2) : suy ra 4 điểm A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn

hay tứ giác AEHD là tứ giác nội tiếp

+)xét tam giác BED vuông tại E

nên tam giác BED nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm B,E,D cùng thuộc 1 đường tròn (1)

xét tam giác BDC vuông tại D

nên tam giác BDC nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm B,D,C cùng thuộc một đường tròn (2)

từ (1) và (2) : suy ra 4 điểm B ,D, C ,E cùng thuộc một đường tròn

hay tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp
+) xét tam giác ADH vuông tại D

nên tam giác ADH nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm A,D,H cùng thuộc một đường tròn (1)

xét tam giác AEH vuông tại E

nên tam giác AEH nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm A ,E,H cùng thuộc một đường tròn (2)

từ (1) và (2) : suy ra 4 điểm A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn

hay tứ giác AEHD là tứ giác nội tiếp

+)xét tam giác BED vuông tại E

nên tam giác BED nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm B,E,D cùng thuộc 1 đường tròn (1)

xét tam giác BDC vuông tại D

nên tam giác BDC nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm B,D,C cùng thuộc một đường tròn (2)

từ (1) và (2) : suy ra 4 điểm B ,D, C ,E cùng thuộc một đường tròn

hay tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp
+) xét tam giác ADH vuông tại D

nên tam giác ADH nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm A,D,H cùng thuộc một đường tròn (1)

xét tam giác AEH vuông tại E

nên tam giác AEH nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm A ,E,H cùng thuộc một đường tròn (2)

từ (1) và (2) : suy ra 4 điểm A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn

hay tứ giác AEHD là tứ giác nội tiếp

+)xét tam giác BED vuông tại E

nên tam giác BED nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm B,E,D cùng thuộc 1 đường tròn (1)

xét tam giác BDC vuông tại D

nên tam giác BDC nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm B,D,C cùng thuộc một đường tròn (2)

từ (1) và (2) : suy ra 4 điểm B ,D, C ,E cùng thuộc một đường tròn

hay tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp
+) xét tam giác ADH vuông tại D

nên tam giác ADH nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm A,D,H cùng thuộc một đường tròn (1)

xét tam giác AEH vuông tại E

nên tam giác AEH nội tiếp đường tròn

hay 3 điểm A ,E,H cùng thuộc một đường tròn (2)

từ (1) và (2) : suy ra 4 điểm A,E,H,D cùng thuộc một đường tròn

hay tứ giác AEHD là tứ giác nội tiếp