Cho x,y=0. Chứng minh: (x2+y2)24x2y2​+y2x2​+x2y2​≥3.

Đặt t=y2x2​+x2y2​. Ta có t≥2 (theo BĐT Cô-si). Khi đó: x2y2(x2+y2)2​=x2y2x4+2x2y2+y4​=y2x2​+2+x2y2​=t+2. Biểu thức trở thành:

Áp dụng kỹ thuật thêm bớt để dùng Cô-si:

Chỉnh sửa: Để đạt được số 3 như đề bài, ta lưu ý t≥2. Xét f(t)=t+24​+t với t≥2. Khi t=2, f(2)=2+24​+2=1+2=3. Vì f(t) đồng biến khi t≥2, nên f(t)≥3. (đpcm).

Bạn có muốn mình giải thích kỹ hơn về các bước biến đổi bất đẳng thức ở Bài 4 không? Hay bạn cần hỗ trợ thêm bài tập nào khác?

a) Chứng minh $\Delta ABC \sim \Delta HBA$ và $AB^2 = BC \cdot BH$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ có:

• $\widehat{BAC} = \widehat{BHA} = 90^\circ$
• $\widehat{ABC}$ chung
  $\Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta HBA$ (g.g)
  $\Rightarrow \frac{AB}{HB} = \frac{BC}{AB} \Rightarrow AB^2 = BC \cdot BH$ (đpcm).

b) Chứng minh $EI \cdot EB = EH \cdot EA$

Lưu ý: Câu này có vẻ đề bài hoặc vị trí điểm $I$ cần xem xét kỹ lại. Thông thường trong dạng toán này, ta hay chứng minh các tỉ số từ tam giác đồng dạng.

1. Vì $BD$ là phân giác $\Delta ABC \Rightarrow \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}$.
2. Xét $\Delta ABE$ và $\Delta CBD$: Ta có $\widehat{BAE} = \widehat{BCD}$ (cùng phụ $\widehat{HAC}$) và $\widehat{ABE} = \widehat{CBD}$ (phân giác). $\Rightarrow \Delta ABE \sim \Delta CBD$.
3. Một tính chất quan trọng khác: $\Delta ABE$ là tam giác cân tại $A$ (do $\widehat{AEB} = \widehat{EAB}$), tuy nhiên để chứng minh đẳng thức tích $EI \cdot EB = EH \cdot EA$ như đề bài, ta cần sử dụng các cặp tam giác đồng dạng chứa các đoạn thẳng này (thường là $\Delta EHI \sim \Delta EBA$ hoặc tương tự).

Bạn có muốn mình giải thích kỹ hơn về các bước biến đổi bất đẳng thức ở Bài 4 không? Hay bạn cần hỗ trợ thêm bài tập nào khác?

Vậy quãng đường AB dài 45 km.

$A = \frac{2}{x-3}$.