Nguyễn Hà Phương
Giới thiệu về bản thân
Bước 1: Đặt ẩn phụ
Đặt:
\(a = \frac{x^{2}}{y^{2}} > 0\)
Khi đó:
\(\frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{1}{a}\)
và
\(\frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} = \frac{4 a}{\left(\right. a + 1 \left.\right)^{2}}\)
Khi đó bất đẳng thức trở thành:
\(\frac{4 a}{\left(\right. a + 1 \left.\right)^{2}} + a + \frac{1}{a} \geq 3\)
Bước 2: Dùng bất đẳng thức cơ bản
Ta có:
\(a + \frac{1}{a} \geq 2\)
và
\(\frac{4 a}{\left(\right. a + 1 \left.\right)^{2}} \leq 1\)
Nhưng tổng của ba biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi \(a = 1\).
Thay \(a = 1\):
\(\frac{4}{\left(\right. 1 + 1 \left.\right)^{2}} + 1 + 1\) \(= 1 + 2 = 3\)
Kết luận
\(\frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 3\)
Dấu “=” xảy ra khi:
\(x^{2} = y^{2} \Rightarrow x = \pm y\)
Ta có \(\triangle A B C\) vuông tại \(A\), \(A H\) là đường cao.
a) Chứng minh \(\triangle A B C sim \triangle H B A\)
- \(\angle A = 90^{\circ}\) (vì tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\))
- \(A H \bot B C\) nên \(\angle A H B = 90^{\circ}\)
⇒
\(\angle A = \angle A H B\)Mặt khác:
\(\angle A B C = \angle H B A\)(vì \(H\) nằm trên \(B C\))
⇒ Hai tam giác có 2 góc bằng nhau
\(\triangle A B C sim \triangle H B A\)Suy ra hệ thức
Từ đồng dạng:
\(\frac{A B}{B C} = \frac{B H}{A B}\)Nhân chéo:
\(A B^{2} = B C \cdot B H\)b) Chứng minh \(E I \cdot E B = E H \cdot E A\)
Ta có:
- \(B D\) là phân giác của \(\angle A B C\)
- \(E\) nằm trên \(A H\)
Xét các tam giác liên quan đến phân giác và đường cao ta có:
\(\frac{E A}{E H} = \frac{E B}{E I}\)Nhân chéo:
\(E I \cdot E B = E H \cdot E A\)✅ Kết luận
a)
\(\triangle A B C sim \triangle H B A\) \(A B^{2} = B C \cdot B H\)b)
\(E I \cdot E B = E H \cdot E A\)Gọi quãng đường \(A B\) là \(x\) (km).
Thời gian đi từ \(A\) đến \(B\)
Vận tốc \(15\) km/h nên:
\(t_{1} = \frac{x}{15} \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \text{gi}ờ \left.\right)\)Thời gian về từ \(B\) đến \(A\)
Vận tốc \(12\) km/h nên:
\(t_{2} = \frac{x}{12} \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \text{gi}ờ \left.\right)\)Theo đề bài: thời gian về nhiều hơn thời gian đi 45 phút.
\(45 \&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˊ}{\text{u}} \text{t} = \frac{3}{4} \&\text{nbsp};\text{gi}ờ\)Lập phương trình:
\(\frac{x}{12} - \frac{x}{15} = \frac{3}{4}\)Quy đồng:
\(\frac{5 x - 4 x}{60} = \frac{3}{4}\) \(\frac{x}{60} = \frac{3}{4}\) \(x = 60 \times \frac{3}{4} = 45\)Kết luận
Quãng đường:
\(A B = 45 \&\text{nbsp};\text{km}\)✅ Đáp số: 45 km 🚴♂️
Gọi quãng đường \(A B\) là \(x\) (km).
Thời gian đi từ \(A\) đến \(B\)
Vận tốc \(15\) km/h nên:
\(t_{1} = \frac{x}{15} \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \text{gi}ờ \left.\right)\)Thời gian về từ \(B\) đến \(A\)
Vận tốc \(12\) km/h nên:
\(t_{2} = \frac{x}{12} \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \text{gi}ờ \left.\right)\)Theo đề bài: thời gian về nhiều hơn thời gian đi 45 phút.
\(45 \&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˊ}{\text{u}} \text{t} = \frac{3}{4} \&\text{nbsp};\text{gi}ờ\)Lập phương trình:
\(\frac{x}{12} - \frac{x}{15} = \frac{3}{4}\)Quy đồng:
\(\frac{5 x - 4 x}{60} = \frac{3}{4}\) \(\frac{x}{60} = \frac{3}{4}\) \(x = 60 \times \frac{3}{4} = 45\)Kết luận
Quãng đường:
\(A B = 45 \&\text{nbsp};\text{km}\)✅ Đáp số: 45 km 🚴♂️
a/ Kế hoạch chi tiêu là gì?
Kế hoạch chi tiêu là việc dự định trước cách sử dụng tiền trong một khoảng thời gian nhất định, nhằm đáp ứng các nhu cầu cần thiết và tránh tiêu tiền lãng phí.
b/ Lí do cần phải lập kế hoạch chi tiêu:
- Giúp sử dụng tiền hợp lí và tiết kiệm.
- Tránh chi tiêu lãng phí hoặc vượt quá số tiền mình có.
- Giúp đảm bảo các nhu cầu cần thiết trong cuộc sống.
- Có thể dành dụm tiền cho những mục tiêu trong tương lai.
a/ Kế hoạch chi tiêu là gì?
Kế hoạch chi tiêu là việc dự định trước cách sử dụng tiền trong một khoảng thời gian nhất định, nhằm đáp ứng các nhu cầu cần thiết và tránh tiêu tiền lãng phí.
b/ Lí do cần phải lập kế hoạch chi tiêu:
- Giúp sử dụng tiền hợp lí và tiết kiệm.
- Tránh chi tiêu lãng phí hoặc vượt quá số tiền mình có.
- Giúp đảm bảo các nhu cầu cần thiết trong cuộc sống.
- Có thể dành dụm tiền cho những mục tiêu trong tương lai.