20

Bài 3

Bài giải

Đặt 2^x + 3^y + 4 = n², n ∈ N*.

TH1: x ≥ 3.

Xét modulo 8:

• Nếu y lẻ: n² ≡ 3 + 4 ≡ 7 (mod 8), vô lý.
• Nếu y chẵn: n² ≡ 1 + 4 ≡ 5 (mod 8), vô lý.

Vậy x ≤ 2.

TH2: x = 1.

Ta có n² = 3^y + 6.

Nếu y ≥ 2 thì n² ≡ 0 (mod 3), suy ra 3 | n. Khi đó 9 | n² nhưng 3^y + 6 không chia hết cho 9 nếu y ≥ 2? Cần kiểm tra: với y≥2, 3^y + 6 chia hết cho 3 nhưng với y=2 thì bằng 15 không chia hết 9; y≥2 thì 3^y chia hết 9, nên tổng ≡ 6 (mod 9), vô lý.

Do đó y = 1.

Suy ra 2 + 3 + 4 = 9 = 3².

TH3: x = 2.

n² = 3^y + 8.

Nếu y lẻ thì n² ≡ 3 (mod 8), vô lý. Vậy y chẵn, đặt y = 2k.

Khi đó:

n² − 3^(2k) = 8

⇒ (n − 3^k)(n + 3^k) = 8.

Hai thừa số dương nên phải là 2 và 4, suy ra 3^k = 1 ⇒ k = 0 ⇒ y = 0, trái giả thiết.

Vậy không có nghiệm.

Kết luận: nghiệm duy nhất là

(x, y) = (1, 1).

Bài 4

Bài giải

Đặt:

2^x × 5^y + 4 = n², với n ∈ N.

TH1: x = 0.

Ta có:

5^y + 4 = n²

⇒ (n − 2)(n + 2) = 5^y.

Hai thừa số hơn kém nhau 4. Vì chúng đều là lũy thừa của 5 nên chỉ có thể là 1 và 5.

Suy ra n = 3, y = 1.

⇒ (x, y) = (0, 1).

TH2: x = 1.

n² = 2 × 5^y + 4.

Vế phải chia hết cho 2 nên n chẵn. Đặt n = 2k:

2k² = 5^y + 2.

Vế trái chẵn, vế phải lẻ, vô lý.

Vậy không có nghiệm.

TH3: x ≥ 2.

Đặt n = 2k, ta được:

4k² = 2^x × 5^y + 4

⇒ (k − 1)(k + 1) = 2^(x−2) × 5^y. (1)

Nếu y = 0, từ (1) suy ra hai số k − 1, k + 1 chỉ có thừa số nguyên tố 2. Do chúng hơn kém nhau 2 nên:

k − 1 = 2, k + 1 = 4

⇒ k = 3 ⇒ 2^(x−2) = 8 ⇒ x = 5.

Suy ra (x, y) = (5, 0).

Nếu y > 0, từ (1) và gcd(k − 1, k + 1) ≤ 2, một trong hai số phải chứa thừa số 5. Do chúng cách nhau 2, ta xét:

k − 1 = 2^a, k + 1 = 2 × 5^y.

Suy ra:

2 × 5^y − 2^a = 2

⇒ 5^y − 1 = 2^(a−1).

Vì 5^y − 1 = (5 − 1)(5^(y−1) + ... + 1), để là lũy thừa của 2 thì y = 1.

Khi đó:

5 − 1 = 2^(a−1)

⇒ a = 3.

Suy ra:

k − 1 = 8, k + 1 = 10 ⇒ k = 9.

Do đó:

2^(x−2) × 5 = 8 × 10 = 80

⇒ 2^(x−2) = 16 ⇒ x = 6.

Suy ra (x, y) = (6, 1).

Vậy các nghiệm là:

(x, y) = (0, 1), (5, 0), (6, 1).

lm gì có chuyện không có

lo chả có

ko bt nx

ko

uh oke,cứ xem đi, à quên +1 report nhé

do trận đó curlsen chưa thay chuột với buồn ngủ,đi nhầm quân hậu nên quang liêm ăn may mới thắng đc+😎😎😎

hay đó

hay

:::))