Gọi x là số đo cung nhỏ AB (x>0)

Số đo cung lớn AB là 2x

Ta có x + 2 = 360°

3x = 360°

X = 360° ÷ 3

x=120°

=>\(\hat{AOB}\) =120°

Xét tam giác AOB ta có:

OA = OB = R

Suy ra tam giác AOB cân tại O

\(\hat{OAB}\) =\(\hat{OBA}\) =(180°-\(\hat{AOB}\) )÷2

=(180°-120°)÷2

=30°

Vẽ đường cao AH của tam giác AOB

Sida tam giác OAH vuông tại H

=> \(\cos\)OAH= AH÷OA

=>AH=OA*\(\cos\)OAH

=R.cos(30°)

=\(\frac{R\sqrt3}{2}\)

Do OH vuông góc với AB

H là trung điểm của AB

Suy ra AB = 2AH

\(=2*\frac{R\sqrt3}{2}\) =

a)

Gọi \(\hat{AnB}\) là cung nhỏ và \(\hat{AmB}\) là cung lớn có số đo \(\hat{AmB}\) = 3 số đo\(\hat{AnB}\) (giả thiết)

Mà số đo \(\hat{AmB}\) + số đo \(\hat{AnB}\) =360°

Do đó 4 số đo \(\hat{AnB}\) = 360°÷4=90°

Vậy số đo \(\hat{AmB}\) = 3 số đo \(\hat{AnB}\) =3\(*90\)°=270°

b)

Ta có \(\hat{AOB}\) =Số đo \(\hat{AnB}\) (góc ở tâm chắn cung AB)

Suy ra \(\hat{AOB}\) =90° suy ra tam giác AOB vuông tại O

Mà AO = OB = R nên tam giác AOB vuông cân tại O

Khi đó OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến.

Tam giác AOB vuông tại O có OH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền:

Nên OH=

Vì số đo cung nhỏ AB bằng 100° nên góc ở tâm \(\hat{AOB}\) = 100°

Kẻ OH vuông góc với AB tại H khi đó OH là khoảng cách từ tâm O đến dây AB

Trong tam giác OAB cân tại O (vì OA = OB = R) nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến và đường phân giác

Suy ra H là trung điểm của AB

Nên \(AH=\frac{AB}{2}=\frac32=1,5\left(\operatorname{cm}\right)\)

\(\hat{AOH}\) =\(\frac{\hat{AOB}}{2}=100\)°÷2=50°

Xe tam giác OAH vuông tại H ta có:

\(\sin\left(\hat{AOH}\right)=\frac{AH}{OA}\)

Suy ra OA=\(\frac{AH}{\sin\left(\hat{AOH}\right)}\) = 1,5÷\(\sin\) (50°)≈2(cm)

Vậy khoảng cách từ a đến tâm đường tròn O khoảng 2 cm

\(\)

a) Gọi O là trung điểm của AC. Khi đó OA = OC =\(\frac12\) AC

Xét tam giác ABC vuông tại B có đường trung tuyến BO ứng với cạnh huyền AC do đó
BO = \(\frac12\) AC (1)

Lại có tam giác ABC vuông tại D ta cũng có:

OA=OD=OC=\(\frac12\) AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm A,B,C,D cùng nằm trên đường tròn đường kính AC

b) Xét đường tròn tâm O đường kính AC có BD là dây cung không đi qua tâm O

Nên AC<BD

Xét đường tròn tâm O bán kính \(OB^{\prime}\) dây BC là đường kính đi qua tâm O, dây \(B^{\prime}C^{\prime}\) là dây cung không đi qua tâm O

Do đó BC > \(B^{\prime}C^{\prime}\)

Gọi OK là khoảng cách từ Ở đến dây MN

Suy ra:K là trung điểm của MN

Xét \(\) tam giác OMN có OM=ON=MN

Nên Tam giác OMN là tam giác đều

Xét Tam giác OMN vuông tại K ta có:

\(ON^2=OK^2+KN^2\) Hay

\(OK=\frac{R\sqrt3}{2}\)

b: OMAN là hình thoi => OM = MA => OM = MA = OA => ΔOMA đều Xét ΔOMA đều có MI là đường cao nên MI = OA\(*\)\(\frac{\sqrt3}{2}\) = \(\frac{10\sqrt3}{2}\) = (cm) I là trung điểm của MN => MN = 2\(*\)MI = 2\(*\)\(5\sqrt3\) = \(10\sqrt3\) (cm)