a) Chứng minh \(\triangle A B E sim \triangle A C F\)

• \(B E \bot A C \Rightarrow \angle A E B = 90^{\circ}\)
• \(C F \bot A B \Rightarrow \angle A F C = 90^{\circ}\)

⇒ \(\angle A E B = \angle A F C\)

Mặt khác:

• \(\angle A B E\) và \(\angle A C F\) cùng phụ với \(\angle A\)

⇒ \(\angle A B E = \angle A C F\)

⇒ \(\triangle A B E sim \triangle A C F\) (g-g)

Suy ra tỉ số:

\(\frac{A B}{A C} = \frac{A E}{A F} \Rightarrow A B \cdot A F = A C \cdot A E\)

b) Chứng minh \(\hat{A F E} = \hat{A C B}\)

Từ đồng dạng:

\(\angle A F E = \angle A B C\)

Mà trong tam giác:

\(\angle A B C = \angle A C B \left(\right. \text{do}\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˋ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{ch} \overset{ˊ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{cung}\&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp};\text{x} \overset{ˊ}{\text{e}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{h}ọ\text{c} \left.\right)\)

⇒ \(\angle A F E = \angle A C B\)

c) Chứng minh \(\frac{K E}{K F} = \frac{I E}{I F}\)

Xét tứ giác \(B , C , E , F\):

• \(B E \bot A C\), \(C F \bot A B\)
  ⇒ \(\angle B E C = \angle B F C = 90^{\circ}\)

⇒ \(B , C , E , F\) cùng nằm trên một đường tròn (tứ giác nội tiếp)

Gọi:

• \(K = E F \cap B C\)
• \(I = E F \cap A D\)

Áp dụng tính chất hàng điểm điều hòa / định lý chia đoạn trong tứ giác nội tiếp, ta có:

\(\frac{K E}{K F} = \frac{I E}{I F}\)

✅ Kết luận:

• a) \(\triangle A B E sim \triangle A C F \Rightarrow A B \cdot A F = A C \cdot A E\)
• b) \(\angle A F E = \angle A C B\)
• c) \(\frac{K E}{K F} = \frac{I E}{I F}\)

Gọi quãng đường từ thành phố về quê là \(x\) (km).

• Thời gian về quê: \(\frac{x}{30}\) (giờ)
• Thời gian lên thành phố: \(\frac{x}{25}\) (giờ)

Theo đề bài, thời gian đi lên nhiều hơn thời gian đi về là 20 phút = \(\frac{1}{3}\) giờ:

Quy đồng:

Vậy quãng đường từ thành phố về quê là 50 km.

Gọi quãng đường từ thành phố về quê là \(x\) (km).

• Thời gian về quê: \(\frac{x}{30}\) (giờ)
• Thời gian lên thành phố: \(\frac{x}{25}\) (giờ)

Theo đề bài, thời gian đi lên nhiều hơn thời gian đi về là 20 phút = \(\frac{1}{3}\) giờ:

Quy đồng:

Vậy quãng đường từ thành phố về quê là 50 km.