Gọi chiều dài đoạn dây điện kéo từ \(A\) đến \(B\) là \(A B = x\) (km).

Khi đó chiều dài dây điện kéo từ \(B\) đến \(C\) là \(B C = \sqrt{1 + \left(\left(\right. 5 - x \left.\right)\right)^{2}} = \sqrt{x^{2} - 10 x + 26}\) (km)

Tổng tiền công là \(3 \sqrt{x^{2} - 10 x + 26} + 2 x = 13\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{13}{5}\).

Khi đó \(A B = x = \frac{13}{5} \Rightarrow B C = \frac{13}{5}\)(km).

Khi đó tổng chiều dài dây điện đã kéo từ \(A\) đến \(C\) là:\(A B + B C = \frac{26}{5}\) (km).

a) 

Vectơ pháp tuyến đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta_{1}\) là \(\overset{\rightarrow}{n_{\Delta}} = \left(\right. 3 ; - 4 \left.\right)\) và \(\overset{\rightarrow}{n_{\Delta_{1}}} = \left(\right. 12 ; - 5 \left.\right)\)

Ta có: $\cos \alpha =\left| \cos\left( \overrightarrow{{{n}_{\Delta }}};\overrightarrow{{{n}_{{{\Delta }_{1}}}}} \right) \right|$$=\dfrac{\left| 12.3+4.5 \right|}{5.13}=\dfrac{56}{65}$

b) \(\left(\right. C \left.\right)\) có tâm \(I \left(\right. - 3 ; 2 \left.\right)\), bán kính \(R = 6\)

Đường thẳng \(d\) có dạng  \(3 x - 4 y + m = 0\) (\(m\) khác \(7\))

\(d\) tiếp xúc \(\left(\right. C \left.\right)\) khi và chỉ khi \(d \left(\right. I , d \left.\right) = R \Leftrightarrow \frac{\mid - 9 - 8 + m \mid}{5} = 6\)

Tìm được \(m = 47\) (TM), \(m = - 13\) (TM) 

Vậy có \(2\) đường thẳng \(d\) thỏa mãn là \(3 x - 4 y + 47 = 0\) và \(3 x - 4 y - 13 = 0\)

a) \(- 2 x^{2} + 18 x + 20 \geq 0\).

a) \(- 2 x^{2} + 18 x + 20 \geq 0\)

Phương trình: \(- 2 x^{2} + 18 x + 20 = 0\) có \(2\) nghiệm  \(x_{1} = - 1 , x_{2} = 10\)

Lập bảng xét dấu \(f \left(\right. x \left.\right) = - 2 x^{2} + 18 x + 20\)

Vậy \(S = \left[\right. - 1 , 10 \left]\right.\).

b) \(\sqrt{2 x^{2} - 8 x + 4} = x - 2\)

Bình phương hai vế được phương trình: \(2 x^{2} – 8 x + 4 = \left(\right. x – 2 \left.\right)^{2}\)

Rút gọn được phương trình: \(x^{2} – 4 x = 0\) có hai nghiệm \(x_{1} = 0 , x_{2} = 4\).

Thử lại nghiệm được \(x = 4\) thỏa mãn phương trình. Vậy \(S = 4\).

Gọi độ rộng viền khung ảnh là x (cm).

Kích thước khung ngoài là:

(17+2x) \text{ và } (25+2x)

Diện tích khung ảnh:

S=(17+2x)(25+2x)

Theo đề:

(17+2x)(25+2x)\le513

425+84x+4x^2\le513

4x^2+84x-88\le0

x^2+21x-22\le0

(x+22)(x-1)\le0

-22\le x\le1

Vì x>0 nên:

0<x\le1

Vậy độ rộng viền khung tối đa là: X=1

Câu 18

a)

\Delta:3x+4y+7=0 \Rightarrow \vec n_1=(3,4)

\Delta_1:5x-12y+7=0 \Rightarrow \vec n_2=(5,-12)

\cos\alpha=\frac{|3\cdot5+4(-12)|}{\sqrt{3^2+4^2}\sqrt{5^2+(-12)^2}}

=\frac{|15-48|}{5\cdot13}

=\frac{33}{65}

\boxed{\cos\alpha=\frac{33}{65}}

b)

C(3,-2),\ R=6

Đường thẳng ⟂ Δ ⇒ dạng:

4x-3y+c=0

Tiếp xúc (C):

\frac{|4.3-3(-2)+c|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=6

\frac{|12+6+c|}{5}=6

|18+c|=30

c=12 \ \text{hoặc}\ c=-48

\boxed{4x-3y+12=0}

\boxed{4x-3y-48=0}

a)

\Delta =(m-1)^2-4(m+5)

= m^2-6m-19

m^2-6m-19<0

m=3\pm2\sqrt7

\boxed{3-2\sqrt7<m<3+2\sqrt7}

b)

\sqrt{2x^2-8x+4}=x-2

x\ge2

2x^2-8x+4=(x-2)^2

2x^2-8x+4=x^2-4x+4

x^2-4x=0

x(x-4)=0

x=4