Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oth, quỹ đạo của quả bóng là một cung Parabol được xác định bởi hàm số bậc hai:  \(h = a t^{2} + b t + c ; \left(\right. a \neq 0 \left.\right)\)  

Từ giả thiết ta có:

\(\left{\right. \&\text{nbsp}; & h \left(\right. 0 \left.\right) = 1 \\ \&\text{nbsp}; & h \left(\right. 1 \left.\right) = 8 , 5 \\ \&\text{nbsp}; & h \left(\right. 2 \left.\right) = 6\)

\(\Leftrightarrow \left{\right. \&\text{nbsp}; & c = 1 \\ \&\text{nbsp}; & a + b + c = 8 , 5 \\ \&\text{nbsp}; & 4 a + 2 b + c = 6\)

\(\Leftrightarrow \left{\right. \&\text{nbsp}; & a = - 5 \\ \&\text{nbsp}; & b = 12 , 5 \\ \&\text{nbsp}; & c = 1\)

Từ đó suy ra \(h = - 5 t^{2} + 12 , 5 t + 1\)

Parabol có tọa độ đỉnh là  \(I \left(\right. 1 , 25 ; 8 , 8125 \left.\right)\)

Độ cao cao nhất của quả bóng đạt được tại đỉnh của cung Parabol.

Vậy \(M a x h = 8 , 8125\)

Vì đường tròn \(\left(\right. C \left.\right)\) có tâm \(I \left(\right. 7 ; 2 \left.\right)\) và một tiếp tuyến của nó là đường thẳng \(\Delta\) có phương trình là \(3 x + 4 y - 9 = 0\) nên bán kính của đường tròn là \(R = d \left(\right. I , \Delta \left.\right) = \frac{\mid 3.7 + 4.2 - 9 \mid}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = 4\). 

Vậy phương trình đường tròn là: \(\left(\left(\right. x - 7 \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. y - 2 \left.\right)\right)^{2} = 16\).

Xét \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} - 2 x - 1\)

Có \(a = 1 > 0 ; \Delta^{'} = 2 > 0\)

Suy ra \(f \left(\right. x \left.\right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} = 1 - \sqrt{2} ;\) \(x_{2} = 1 + \sqrt{2}\).

\(f \left(\right. x \left.\right) < 0\)

\(\Leftrightarrow x \in \left(\right. 1 - \sqrt{2} ; 1 + \sqrt{2} \left.\right)\) 

Vậy tập nghiệm là : \(S = \left(\right. 1 - \sqrt{2} ; 1 + \sqrt{2} \left.\right)\). 

Gọi chiều dài đoạn dây điện kéo từ \(A\) đến \(B\) là \(A B = x\) (km).

Khi đó chiều dài dây điện kéo từ \(B\) đến \(C\) là \(B C = \sqrt{1 + \left(\left(\right. 5 - x \left.\right)\right)^{2}} = \sqrt{x^{2} - 10 x + 26}\) (km)

Tổng tiền công là \(3 \sqrt{x^{2} - 10 x + 26} + 2 x = 13\)
\(\Leftrightarrow 3 \sqrt{x^{2} - 10 x + 26} = 13 - 2 x\)

\(\Leftrightarrow \left{\right. \&\text{nbsp}; & 13 - 2 x \geq 0 \\ \&\text{nbsp};\&\text{nbsp}; & 9 \left(\right. x^{2} - 10 x + 26 \left.\right) = 169 - 52 x + 4 x^{2}\)

\(\Leftrightarrow \left{\right. \&\text{nbsp}; & x \leq \frac{13}{2} \\ \&\text{nbsp};\&\text{nbsp}; & 5 x^{2} - 38 x + 65 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left{\right. \&\text{nbsp}; & x \leq \frac{13}{2} \\ \&\text{nbsp};\&\text{nbsp}; & \left[\right. \begin{matrix}\&\text{nbsp}; & x = 5 \\ \&\text{nbsp};\&\text{nbsp}; & x = \frac{13}{5}\end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{13}{5}\).

Khi đó \(A B = x = \frac{13}{5} \Rightarrow B C = \frac{13}{5}\)(km).

Khi đó tổng chiều dài dây điện đã kéo từ \(A\) đến \(C\) là:\(A B + B C = \frac{26}{5}\) (km).

a) \(- 2 x^{2} + 18 x + 20 \geq 0\)

Phương trình: \(- 2 x^{2} + 18 x + 20 = 0\) có \(2\) nghiệm  \(x_{1} = - 1 , x_{2} = 10\)

Lập bảng xét dấu \(f \left(\right. x \left.\right) = - 2 x^{2} + 18 x + 20\)

Vậy \(S = \left[\right. - 1 , 10 \left]\right.\).

b) \(\sqrt{2 x^{2} - 8 x + 4} = x - 2\)

Bình phương hai vế được phương trình: \(2 x^{2} – 8 x + 4 = \left(\right. x – 2 \left.\right)^{2}\)

Rút gọn được phương trình: \(x^{2} – 4 x = 0\) có hai nghiệm \(x_{1} = 0 , x_{2} = 4\).

Thử lại nghiệm được \(x = 4\) thỏa mãn phương trình. Vậy \(S = 4\).

Kích thước của cả khung ảnh là \(\left(\right. 17 + 2 x \left.\right)\) cm x \(\left(\right. 25 + 2 x \left.\right)\) cm (Điều kiện: \(x > 0\))

Diện tích cả khung ảnh là: S = \(\left(\right. 17 + 2 x \left.\right) . \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) = 4 x^{2} + 84 x + 425\)

Để diện tích của cả khung ảnh lớn nhất là \(513\) cm² thì  \(S = 4 x^{2} + 84 x + 425 \leq 513\)

\(\Rightarrow 4 x^{2} + 84 x - 88 \leq 0 \Leftrightarrow - 22 \leq x \leq 1\). Vì \(x > 0\) nên \(x \in \left(\right. 0 ; 1 \left]\right.\)

Vậy cần phải làm độ rộng viền khung ảnh tối đa \(1\) (cm).

a) 

\(\overset{\rightarrow}{n_{\Delta}}=\left(\right.3;4\left.\right);\overset{\rightarrow}{n_{\Delta_{1}}}=\left(\right.5;-12\left.\right).\)

\(cos ⁡ \alpha = \mid cos ⁡ \left(\right. \overset{\rightarrow}{n_{\Delta}} ; \overset{\rightarrow}{n_{\Delta_{1}}} \left.\right) \mid = \frac{\mid 3.5 + 4. \left(\right. - 12 \left.\right) \mid}{5.13} = \frac{33}{65}\).

b) \(\left(\right. C \left.\right)\) có tâm \(I \left(\right. 3 ; - 2 \left.\right)\), bán kính \(R = 6\)

Đường thẳng \(d\) có dạng \(4 x - 3 y + m = 0\) (\(m\) khác \(7\))

\(d\) tiếp xúc \(\left(\right. C \left.\right)\) khi và chỉ khi \(d \left(\right. I , d \left.\right) = R \Leftrightarrow \frac{\mid 12 + 6 + m \mid}{5} = 6\).

Tìm được \(m = - 48\)(TM), \(m = 12\) (TM)

Vậy có hai đường thẳng \(d\) thỏa mãn là \(4 x - 3 y - 48 = 0\) và \(4 x - 3 y + 12 = 0\).

a) Ta có \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} + 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 5\) có \(\Delta^{'} = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. m + 5 \left.\right) = m^{2} - 3 m - 4\)

Lại có hệ số \(a = 1 > 0\).

Để \(f \left(\right. x \left.\right)\) luôn dương (cùng dấu hệ số \(a\)) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì \(\Delta^{'} < 0\) \(\Leftrightarrow m^{2} - 3 m - 4 < 0\).

Xét tam thức \(h \left(\right. m \left.\right) = m^{2} - 3 m - 4\) có \(\Delta_{m} = 9 - 4. \left(\right. - 4 \left.\right) = 25 > 0\) nên \(h \left(\right. m \left.\right)\) có hai nghiệm là \(m_{1} = - 1\) và \(m_{2} = 4\).

Ta có bảng xét dấu của \(h \left(\right. m \left.\right)\):

Do đó \(h \left(\right. m \left.\right) < 0\) với mọi \(x \in \left(\right. - 1 ; 4 \left.\right)\)

Hay \(\Delta^{'} < 0\) với mọi \(x \in \left(\right. - 1 ; 4 \left.\right)\)

Vậy \(x \in \left(\right. - 1 ; 4 \left.\right)\) thì tam thức bậc hai \(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} + \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 5\) dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

b) Bình phương hai vế ta được: \(2 x^{2} - 8 x + 4 = x^{2} - 4 x + 4\)

\(\Leftrightarrow x^{2} - 4 x = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x = 4\)

Thử lại nghiệm được \(x = 4\) thỏa mãn phương trình.

Vậy tập nghiệm \(S = 4\).