giải

Kích thước cả khung ảnh là:

\(\left(\right. 17 + 2 x \left.\right) \times \left(\right. 25 + 2 x \left.\right)\)

Diện tích cả khung là:

\(S = \left(\right. 17 + 2 x \left.\right) \left(\right. 25 + 2 x \left.\right)\)

ta có điều kiện:

\(S \leq 513\)

vậy ta có phương trình

\(\left(\right. 17 + 2 x \left.\right) \left(\right. 25 + 2 x \left.\right) \leq 513\)

khai triển phương trình ta có:

\(425 + 34 x + 50 x + 4 x^{2} \leq 513\)

\(4 x^{2} + 84 x + 425 \leq 513\)

\(4 x^{2} + 84 x - 88 \leq 0\)

Chia cả hai vế cho 4:

\(x^{2} + 21 x - 22 \leq 0\)

giải phương trình :

\(x^{2} + 21 x - 22 = 0\)

\(x = \frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} + 88}}{2}\) \(= \frac{- 21 \pm \sqrt{529}}{2}\) \(= \frac{- 21 \pm 23}{2}\)

\(x=1\text{ ho}ặ\text{c }x=-22\)

điều kiện thỏa mãn:

\(x > 0\)

Và

\(x^{2} + 21 x - 22 \leq 0\)

suy ra

\(0 < x \leq 1\)

Độ rộng viền khung ảnh tối đa là

\(x=1\text{cm}\)

Giải

a)

cos của góc giữa hai đường thẳng:

\(cos ⁡ \alpha = \frac{\mid a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} \mid}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}\)

Với

\(\Delta : 3 x + 4 y + 7 = 0 \Rightarrow a_{1} = 3 , \textrm{ }\textrm{ } b_{1} = 4\)

\(\Delta_{1} : 5 x - 12 y + 7 = 0 \Rightarrow a_{2} = 5 , \textrm{ }\textrm{ } b_{2} = - 12\)

Ta có

\(\mid a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} \mid = \mid 3 \cdot 5 + 4 \cdot \left(\right. - 12 \left.\right) \mid\) \(= \mid 15 - 48 \mid = 33\)

\(\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5\)

\(\sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}} = \sqrt{5^{2} + \left(\right. - 12 \left.\right)^{2}} = 13\)

Do đó

\(cos ⁡ \alpha = \frac{33}{5 \cdot 13}\) \(cos ⁡ \alpha = \frac{33}{65}\)

b)

Đường thẳng \(\Delta\):

\(3 x + 4 y + 7 = 0\)

hệ số góc:

\(k_{\Delta} = - \frac{3}{4}\)

Đường thẳng vuông góc với \(\Delta\) có hệ số góc:

\(k = \frac{4}{3}\)

Phương trình tổng quát:

\(4 x - 3 y + c = 0\)

Tâm đường tròn:

\(I \left(\right. 3 , - 2 \left.\right)\)

Bán kính:

\(R = \sqrt{36} = 6\)

Điều kiện tiếp xúc:

\(d \left(\right. I , d \left.\right) = R\) \(\frac{\mid 4 \cdot 3 - 3 \left(\right. - 2 \left.\right) + c \mid}{\sqrt{4^{2} + \left(\right. - 3 \left.\right)^{2}}} = 6\) \(\frac{\mid 12 + 6 + c \mid}{5} = 6\) \(\mid 18 + c \mid = 30\)\(\) \(\)

xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1

\(18 + c = 30\)

\(c = 12\)

\(4 x - 3 y + 12 = 0\)

Trường hợp 2

\(18 + c = - 30\)

\(c = - 48\)

\(4x-3y-48=0\)

vậy phương trình tiếp tuyến:

\(4 x - 3 y + 12 = 0\)

hoặc

\(4 x - 3 y - 48 = 0\) \(\)\(\)

a) Tìm M để tam thức bậc hai

\(f \left(\right. x \left.\right) = x^{2} + \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 5\)

Tam thức bậc hai \(f \left(\right. x \left.\right) = a x^{2} + b x + c\) dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi:

\(a > 0 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \Delta < 0\)

Ta có:

\(a = 1 > 0\)

Tính biệt thức:

\(\Delta = b^{2} - 4 a c\) \(= \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} - 4 \left(\right. m + 5 \left.\right)\) \(= m^{2} - 2 m + 1 - 4 m - 20\) \(= m^{2} - 6 m - 19\)

Điều kiện:

\(\Delta < 0\) \(m^{2} - 6 m - 19 < 0\)

Giải phương trình:

\(m^{2} - 6 m - 19 = 0\) \(m = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 76}}{2}\) \(= \frac{6 \pm \sqrt{112}}{2}\) \(= 3 \pm 2 \sqrt{7}\)

Suy ra:

\(3 - 2 \sqrt{7} < m < 3 + 2 \sqrt{7}\)

Vậy

\(m \in \left(\right. 3 - 2 \sqrt{7} , \textrm{ }\textrm{ } 3 + 2 \sqrt{7} \left.\right)\)

b) Giải phương trình

\(\sqrt{2 x^{2} - 8 x + 4} = x - 2\)

Điều kiện xác định

\(x - 2 \geq 0\) \(x \geq 2\)

Bình phương hai vế:

\(2 x^{2} - 8 x + 4 = \left(\right. x - 2 \left.\right)^{2}\) \(2 x^{2} - 8 x + 4 = x^{2} - 4 x + 4\)

Chuyển vế:

\(x^{2} - 4 x = 0\) \(x \left(\right. x - 4 \left.\right) = 0\) \(x=0\text{ ho}ặ\text{c }x=4\)

Đối chiếu điều kiện \(x \geq 2\):

• \(x = 0\) (loại)
• \(x = 4\) (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là

\(x = 4\)